Áp dụng nhanh Công thức tỉ số thể tích hình chóp trong đề thi THPTQG

Kĩ thuật tính tỉ số thể tích hình chóp trong đề thi THPTQG.

Định lý Simpson – Công thức tỉ số thể tích

Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh bên AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm M, N, P
Ta có : \[\frac{{{V_{AMNP}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{AM}}{{AB}}.\frac{{AN}}{{AC}}.\frac{{AP}}{{AD}}\]

Chú ý khi sử dụng định lý:
+ Sử dụng để tính thể tích một hình chóp nhỏ có chung đỉnh với hình chóp to và mặt đáy bị nghiêng lên hoặc ở phía trên của đáy chóp chính
+ Chỉ sử dụng với hình chóp có đáy là tam giác

Bài tập Công thức tỉ số thể tích hình chóp

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M, N là trung điểm của AB, AC, P là điểm thuộc AD sao cho AP = 2PD.
Tính thể tích khối tứ diện AMNP.
Giải

\[\begin{array}{l}
\frac{{{V_{AMNP}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{AM}}{{AB}}.\frac{{AN}}{{AC}}.\frac{{AP}}{{AD}}\\
{\rm{ = }}\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3} = \frac{1}{6}\\
{V_{ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\\
\Rightarrow {V_{AMNP}} = \frac{1}{6}.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{72}}
\end{array}\]

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy. Đáy là tam giác vuông tại B với \[BC = a\sqrt 3 \], AB=a, \[SC = a\sqrt 5 \]. Gọi M là trung điểm của SB, N là trung đểim của SC. Tính thể tích khối đa diện AMNCB
Giải:

Để tính thể tích khối đa diện AMNBC, ta cần tính thể tích khối chóp lớn SABC và khối chóp nhỏ chung đỉnh SAMN.

* Tính \[{{V_{SABC}}}\]

\[\begin{array}{l}
{V_{SABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA\\
+ ){\rm{ }}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\\
+ ){\rm{ }}SA = \sqrt {S{C^2} – A{C^2}} = a\\
\Rightarrow {V_{SABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}
\end{array}\]

* Tính \[{{V_{SAMN}}}\]

\[\begin{array}{l}
\frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\\
\Rightarrow {V_{SAMN}} = \frac{1}{4}.{V_{SABC}} = \frac{1}{4}.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\\
\Rightarrow {V_{SAMN}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}
\end{array}\]

* Tính \[{V_{AMNCB}}\]

\[\begin{array}{l}
{V_{AMNCB}} = {V_{SABC}} – {V_{SAMN}}\\
= \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} – \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}
\end{array}\]

Hoặc :

\[\begin{array}{l}
{V_{SAMN}} = \frac{1}{4}.{V_{SABC}}\\
\Rightarrow {V_{AMNCB}} = \frac{3}{4}{V_{SABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}
\end{array}\]

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. H thuộc AC sao cho \[AH = \frac{{AC}}{4}\] Biết SH vuông góc với đáy; cho SA = a; gọi M là trung điểm của SA.
Tính thể tích khối chóp SMBC
Giải:

\[\begin{array}{l}
\frac{{{V_{SMBC}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SB}}{{SB}}.\frac{{SC}}{{SC}} = \frac{1}{2}\\
\Rightarrow {V_{SMBC}} = \frac{1}{2}.{V_{SABC}}\\
{V_{SABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SH\\
+ ){\rm{ }}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}a.a = \frac{1}{2}{a^2}\\
+ ){\rm{ }}AH = \frac{{AC}}{4} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\\
SH = \sqrt {S{A^2} – A{H^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}\\
\Rightarrow {V_{SABC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}{a^2}.\frac{{a\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{{a^3}\sqrt {14} }}{{24}}\\
\Rightarrow {V_{SMBC}} = \frac{1}{2}.{V_{SABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt {14} }}{{48}}
\end{array}\]

Ví dụ 4:Cho hình chóp SABC có (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy. Tam giác ABC đều cạnh a; SA = 2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên các cạnh SB và SC.
Tính thể tích khối chóp SAHK.
Giải:

* Tính thể tích chóp lớn  trước:

\[\begin{array}{l}
{V_{SABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA\\
= \frac{1}{3}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.2a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}
\end{array}\]

* Theo Simpson:

\[\frac{{{V_{SAHK}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SH}}{{SB}}.\frac{{SK}}{{SC}}\]

Hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB có AH là đường cao có:

\[SH.SB = S{A^2}\] Chia 2 vế cho \[S{B^2}\] ta được:

\[\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \frac{{4{a^2}}}{{5{a^2}}} = \frac{4}{5}\]

Vì tam giác SAB và SAC bằng nhau nên cũng có \[\frac{{SK}}{{SC}} = \frac{4}{5}\]

\[\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{{{V_{SAHK}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{4}{5}.\frac{4}{5} = \frac{{16}}{{25}}\\
\Rightarrow {V_{SAHK}} = \frac{{16}}{{25}}.{V_{SABC}} = \frac{{16}}{{25}}.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} = \frac{{8{a^3}\sqrt 3 }}{{75}}
\end{array}\]