Tính thể tích khối chóp đều và chóp có cạnh bên bằng nhau trong đề thi THPTQG
Định nghĩa chóp đều và cách vẽ
* Chóp đều là khối chóp thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện:
- Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau
- Có đáy là một đa giác đều
* Tứ diện đều là hình chóp đều có tất cả các cạnh bằng nhau, có thể tích \[\frac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}}\] (x là cạnh)
Chóp đều và chóp có các cạnh bên bằng nhau đều có điểm chung là chân đường cao từ đỉnh trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy.
Cách vẽ chóp đều và chóp có các cạnh bên bằng nhau
+ Tìm xem tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy ở đâu:
– Tam giác đều: tâm là trọng tâm
– Tam giác vuông: trung điểm cạnh huyền
– Tam giác thường: giao 2 đường trung trực (R= abc/2S hoặc R = a/2sinA)
– Chữ nhật, vuông: giao hai đường chéo
+ Từ tâm vẽ vuông góc lên sẽ là đỉnh S.
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD đều cạnh a. Tính thể tích khối tứ diện.
Giải:
\[V = \frac{1}{3}AO.{S_{BCD}}\]
* \[{S_{BCD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\]
* Tính AO:
\[BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]\[ \Rightarrow OB = \frac{2}{3}BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]
\[\begin{array}{l}
{O^2} = A{B^2} – O{B^2}\\
{\rm{ = }}{a^2} – \frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{2{a^2}}}{3}\\
\Rightarrow AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}
\end{array}\]
{O^2} = A{B^2} – O{B^2}\\
{\rm{ = }}{a^2} – \frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{2{a^2}}}{3}\\
\Rightarrow AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}
\end{array}\]
\[V = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\]
Ví dụ 2: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích của khối chóp đã cho.
Giải:
Giải:
\[V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\]
* \[{S_{ABCD}} = {a^2}\]
* \[\begin{array}{l}
OC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\\
SO = \sqrt {S{C^2} – O{C^2}} \\
= \sqrt {4{a^2} – \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}
\end{array}\]
OC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\\
SO = \sqrt {S{C^2} – O{C^2}} \\
= \sqrt {4{a^2} – \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}
\end{array}\]
\[V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 7 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 7 }}{6}\]
Bài tập Tính thể tích khối chóp
Bài viết khác cùng mục: