- Cách tính tổng dãy lũy thừa cùng cơ số – Các dạng liên quan
- Các phương pháp so sánh hai lũy thừa – Toán 6 nâng cao
- Bài tập cộng trừ nhân chia số tự nhiên – Số học 6 chương I
- Bài tập lũy thừa với số mũ tự nhiên, phép nhân và chia lũy thừa lớp 6
- Phiếu bài tập thứ tự thực hiện phép tính lớp 6 (word)
- Bài tập dấu hiệu chia hết lớp 6 cơ bản và nâng cao
- Bài tập tính chất chia hết của một tổng nâng cao lớp 6
- Bài tập ước chung và bội chung toán 6
- Bài tập Ước chung lớn nhất – Bội chung nhỏ nhất nâng cao
- Bài tập số nguyên tố lớp 6 nâng cao
- Bài tập phân tích một số ra thừa số nguyên tố lớp 6 cơ bản
- Phiếu bài tập tuần 1 hình 6 điểm và đường thẳng
- Bài tập tuần 2 hình học 6 – 3 điểm thẳng hàng – Phiếu hoạt hình đẹp
- Bài tập tuần 3 hình học 6 – đường thẳng đi qua hai điểm
- Bài tập tuần 4 hình học 6 – Tia
- Bài tập lũy thừa với số mũ tự nhiên nâng cao toán 6
- Hướng dẫn so sánh phân số cơ bản đến nâng cao
- Bài tập nâng cao chuyên đề tập hợp lớp 6
- Chuyên đề lũy thừa với số tự nhiên lớp 6 – Phiếu bài tập nâng cao
- Phiếu bài tập tính chất chia hết của một tổng nâng cao
- Bài tập về số tự nhiên lớp 6 (word) cơ bản và nâng cao
- Bài tập ước chung và bội chung có đáp án
- Bài tập tập hợp số nguyên file word dạng trò chơi
- Phiếu bài tập phép cộng hai số nguyên file word
- Lý thuyết – Bài tập tia phân giác của góc lớp 6
- Lý thuyết – bài tập góc và số đo góc lớp 6
- Bài tập đường tròn và tam giác lớp 6 chương trình mới
- Bài tập hè Toán 6 lên 7 đầy đủ cả năm cơ bản đến nâng cao
- Hỗn số lớp 6: Bài tập Hỗn số và số thập phân toán 6 đầy đủ
- Tìm chữ số tận cùng của lũy thừa với số mũ tự nhiên- Toán nâng cao lớp 6
- Bài tập về tập hợp và tập số tự nhiên – Số học 6 chương I
Cách tính tổng dãy lũy thừa cùng cơ số – Các dạng liên quan , cộng lũy thừa cùng cơ số , Các dạng bài toán liên quan tổng dãy lũy thừa cùng cơ số. Đây là một dạng bài toán nâng cao điển hình của chương trình lớp 6.
Tổng dãy lũy thừa :Dãy gồm tổng các lũy thừa cùng cơ số
Dãy lũy thừa cùng cơ số là dãy gồm tổng của nhiều lũy thừa cơ số a và số mũ liên tiếp.
Có hai dạng toán hay hỏi về dãy số này đó là Tính và Chứng minh chia hết
Với mỗi một dạng toán ta đều có cách xử lý khác nhau
Dạng 1: Tính tổng dãy lũy thừa cùng cơ số với số mũ liên tiếp
Dạng 2: Chứng minh chia hết
Để chứng minh S chia hết cho số q, ta viết số S dưới dạng tích của q với một số nào đó.
Nếu làm theo dạng 1, kết quả sẽ không ở dạng tích. Vì vậy cần có cách phân tích khác.
Các kiến thức liên quan để giải bài toán
- Đặt thừa số chung
- Tính số số hạng trong dãy
Công thức: (Số cuối – Số đầu) : khoảng cách + 1
Hỏi đáp cộng lũy thừa cùng cơ số
Cách cộng, trừ lũy thừa nhưng khác cơ số và cùng số mũ. Làm ví dụ! Cách cộng,trừ lũy thừa khác cơ số,, khác cả số mũ ta phải làm sao. Cho ví dụ! Cách cộng,trừ lũy thừa cùng cơ số nhưng khác số mũ. Ta phải làm sao? Mong được bạn nào đó giúp đỡ. Xin chân thành cảm ơn
Trả lời:
Tổng dãy lũy thừa :Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm
• Dạng toán này vận dựng 2 phương pháp giới thiệu ở trên
* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+2 +22 + . . . +2100 (*)
° Hướng dẫn:
* Cách 1: Ta viết lại S như sau:
S = 1+ 2(1 +2 +22 + . . .+ 299)
S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . .+ 299 + 2100 – 2100)
⇒ S = 1 + 2(S – 2100) = 1+2S – 2101
⇒ S = 2101 – 1
* Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:
2S = 2(1 +2 +22 + . . . 2100)
⇔ 2S = 2 +22 + 23 + . . .+ 2101 (**)
– Lấy (**) trừ đi (*) ta được:
2S – S = (2 + 22 + 23 + . . . +2101) – (1 +2 +22 +. . . +2100)
⇔ S = 2101 – 1.
• Tổng quát cho dạng toán này như sau:
Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được:
* Ví dụ 2: Tính:
S = 1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100
° Hướng dẫn:– Ta có:
2S = 2(1 – 2 +22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100)
⇔ 2S = 2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101
⇔ 2S S = (2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101) (1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100)
⇔ 3S = 2101 + 1.
• Tổng quát cho dạng toán này như sau:
Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được:
* Ví dụ 3: Tính tổng:
S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100 (*)
° Hướng dẫn:
– Với bài toán này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.
– Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.
S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100
⇔ 32.S = 32(1 +32 + 34 + . . . +398 + 3100)
⇔ 9S= 32 + 34 + . . .+ 3100 + 3102 (**)
– Ta Trừ vế với vế của (**) cho (*) được:
9S-S= (32 + 34 + . . . 3100 + 3102) – (1+32 +34 + . . . +398 + 3100)
⇔ 8S = 3102 – 1
• Tổng quát cho dạng toán này như sau:
Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi TRỪ vế với vế ta được:
* Ví dụ 4: Tính:
S = 1 – 23 + 26 – 29 . . . +296 – 299 (*)
° Hướng dẫn:
– Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23 ta được:
23.S = 23.(1 – 23 + 26 – 29 + . . .+ 296 – 299)
⇒ 8S = 23 – 26 + 29 – 212 + . . . +299 – 2102 (**)
– Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:
8S S = (23 – 26 + 29 – 212 + . . . +299 – 2102) (1 – 23 + 26 – 29 + . . .+ 296 – 299)
⇔ 9S = 1 – 2102
• Tổng quát cho dạng toán này như sau:
Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi CỘNG vế với vế ta được:
II. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều
• Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT các em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn với lớp 6 các em dựa vào cơ sở lý thuyết sau:
– Để đếm được số hạng cảu 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:
Số số hạng = [(số cuối – số đầu):(khoảng cách)] 1
– Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:
Tổng = [(số đầu số cuối).(số số hạng)]:2
* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+3+5 +7 +… +39
° Hướng dẫn:
– Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.
S = [20.(39+1)]:2 = 10.40 = 400.
* Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2+5+8+…+59
° Hướng dẫn:
– Số số hạng của S là:(59-2):3+1 = 19+1 = 20.
S = [20.(59+2)]:2 = 10.61 = 610.
III. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết
• Ký hiệu:
• Tính chất:
* Ví dụ: Tính tổng: Sn = 1.2+2.3 +3.4 … n(n+1)
° Hướng dẫn:
– Ta có:
– Mặt khác, lại có:
(theo PP quy nạp ở mục I).
(theo PP quy nạp ở mục I)
IV. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Tính tổng: S = 3 8 13 18 … 228
Bài tập 2: Tính các tổng sau:
a) S = 6 +62 + 63 + … +699 + 6100
b) S = 5 +11 +17 … 95 +101
c)
d)
Bài tập 3: Chứng minh
a) 1.4 +4.7 +7.10 … (3n-2)(3n+1) = n(n+1)2
b)
Bài viết khác cùng mục: