Cách tính tổng dãy lũy thừa cùng cơ số – Các dạng liên quan

Đây là bài viết số 21 trong 31 bài viết của loạt series Toán 6

Cách tính tổng dãy lũy thừa cùng cơ số – Các dạng liên quan , cộng lũy thừa cùng cơ số , Các dạng bài toán liên quan tổng dãy lũy thừa cùng cơ số. Đây là một dạng bài toán nâng cao điển hình của chương trình lớp 6.

Các dạng bài toán liên quan tổng dãy lũy thừa cùng cơ số
Các dạng bài toán liên quan tổng dãy lũy thừa cùng cơ số

Tổng dãy lũy thừa :Dãy gồm tổng các lũy thừa cùng cơ số

Dãy lũy thừa cùng cơ số là dãy gồm tổng của nhiều lũy thừa cơ số a và số mũ liên tiếp.

Có hai dạng toán hay hỏi về dãy số này đó là Tính và Chứng minh chia hết

Với mỗi một dạng toán ta đều có cách xử lý khác nhau

Dạng 1: Tính tổng dãy lũy thừa cùng cơ số với số mũ liên tiếp

Dạng 2: Chứng minh chia hết

Để chứng minh S chia hết cho số q, ta viết số S dưới dạng tích của q với một số nào đó.

Nếu làm theo dạng 1, kết quả sẽ không ở dạng tích. Vì vậy cần có cách phân tích khác.

Các kiến thức liên quan để giải bài toán

  1. Đặt thừa số chung
  2. Tính số số hạng trong dãy

Công thức: (Số cuối – Số đầu) : khoảng cách + 1

Hỏi đáp  cộng lũy thừa cùng cơ số

Cách cộng, trừ lũy thừa nhưng khác cơ số và cùng số mũ. Làm ví dụ! Cách cộng,trừ lũy thừa khác cơ số,, khác cả số mũ ta phải làm sao. Cho ví dụ! Cách cộng,trừ lũy thừa cùng cơ số nhưng khác số mũ. Ta phải làm sao? Mong được bạn nào đó giúp đỡ. Xin chân thành cảm ơn

Trả lời:

Tổng dãy lũy thừa :Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

• Dạng toán này vận dựng 2 phương pháp giới thiệu ở trên

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+2 +22 + . . . +2100 (*)

° Hướng dẫn:

* Cách 1: Ta viết lại S như sau:

S = 1+ 2(1 +2 +22 + . . .+ 299)

S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . .+ 299 + 2100 – 2100)

⇒ S = 1 + 2(S – 2100) = 1+2S – 2101

⇒ S = 2101 – 1

* Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

2S = 2(1 +2 +22 + . . . 2100)

⇔ 2S = 2 +22 + 23 + . . .+ 2101 (**)

– Lấy (**) trừ đi (*) ta được:

2S – S = (2 + 22 + 23 + . . . +2101) – (1 +2 +22  +. . . +2100)

⇔ S = 2101 – 1.

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được: 

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

* Ví dụ 2: Tính:

S = 1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100

° Hướng dẫn:– Ta có:

2S = 2(1 – 2 +22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100)

⇔ 2S = 2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101

⇔ 2S S = (2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101) (1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100)

⇔ 3S = 2101 + 1.

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được: Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

* Ví dụ 3: Tính tổng:

S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100 (*)

° Hướng dẫn:

– Với bài toán này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

– Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100

⇔ 32.S = 32(1 +32 + 34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 9S= 32 + 34 + . . .+ 3100 + 3102  (**)

– Ta Trừ vế với vế của (**) cho (*) được:

9S-S= (32 + 34 + . . . 3100 + 3102) – (1+32 +34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 8S = 3102 – 1

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi TRỪ vế với vế ta được:

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

* Ví dụ 4: Tính:

S = 1 – 23 + 26 – 29 . . . +296 – 299 (*)

° Hướng dẫn:

– Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23 ta được:

23.S =  23.(1 – 23 + 26 – 29 + . . .+ 296 – 299)

⇒ 8S = 23 – 26 + 29 – 212 + . . . +299 – 2102 (**)

– Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:

8S S = (23 – 26 + 29 – 212 + . . . +299 – 2102) (1 – 23 + 26 – 29 + . . .+ 296 – 299)

⇔ 9S = 1 – 2102 Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi CỘNG vế với vế ta được:

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

II. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều

• Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT các em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn với lớp 6 các em dựa vào cơ sở lý thuyết sau:

 

– Để đếm được số hạng cảu 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

 Số số hạng = [(số cuối – số đầu):(khoảng cách)] 1

– Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

Tổng = [(số đầu số cuối).(số số hạng)]:2

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+3+5 +7 +… +39

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

S = [20.(39+1)]:2 = 10.40 = 400.

* Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2+5+8+…+59

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là:(59-2):3+1 = 19+1 = 20.

S = [20.(59+2)]:2 = 10.61 = 610.

III. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết

• Ký hiệu: Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

• Tính chất:

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

* Ví dụ: Tính tổng: Sn = 1.2+2.3 +3.4 … n(n+1)

° Hướng dẫn:

– Ta có: Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

– Mặt khác, lại có:

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật (theo PP quy nạp ở mục I).

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật (theo PP quy nạp ở mục I)

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

IV. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tính tổng: S = 3 8 13 18 … 228

Bài tập 2: Tính các tổng sau:

a) S = 6 +62 + 63 + … +699 + 6100

b) S = 5 +11 +17 … 95 +101

c) Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

d) Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

Bài tập 3: Chứng minh

a) 1.4 +4.7 +7.10 … (3n-2)(3n+1) = n(n+1)2

b) Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

Bài viết cùng series:<< Hướng dẫn Các phương pháp so sánh phân số cơ bản đến nâng caoTìm chữ số tận cùng của lũy thừa với số mũ tự nhiên- Toán nâng cao lớp 6 >>

Like share và ủng hộ chúng mình nhé:

Donate ủng hộ

Nếu thấy bài biết hay và hữu ích hãy donate cho blog nhé

Donate qua ví MOMO:

Donate qua Viettel Pay: