Cách tính tổng dãy lũy thừa cùng cơ số – Các dạng liên quan

Cách tính tổng dãy lũy thừa cùng cơ số – Các dạng liên quan , cộng lũy thừa cùng cơ số , Các dạng bài toán liên quan tổng dãy lũy thừa cùng cơ số. Đây là một dạng bài toán nâng cao điển hình của chương trình lớp 6.

Tổng dãy lũy thừa :Dãy gồm tổng các lũy thừa cùng cơ số

Dãy lũy thừa cùng cơ số là dãy gồm tổng của nhiều lũy thừa cơ số a và số mũ liên tiếp.

Có hai dạng toán hay hỏi về dãy số này đó là Tính và Chứng minh chia hết

Với mỗi một dạng toán ta đều có cách xử lý khác nhau

Dạng 1: Tính tổng dãy lũy thừa cùng cơ số với số mũ liên tiếp

Dạng 2: Chứng minh chia hết

Để chứng minh S chia hết cho số q, ta viết số S dưới dạng tích của q với một số nào đó.

Nếu làm theo dạng 1, kết quả sẽ không ở dạng tích. Vì vậy cần có cách phân tích khác.

Các kiến thức liên quan để giải bài toán

1. Đặt thừa số chung
2. Tính số số hạng trong dãy

Công thức: (Số cuối – Số đầu) : khoảng cách + 1

Hỏi đáp  cộng lũy thừa cùng cơ số

Cách cộng, trừ lũy thừa nhưng khác cơ số và cùng số mũ. Làm ví dụ! Cách cộng,trừ lũy thừa khác cơ số,, khác cả số mũ ta phải làm sao. Cho ví dụ! Cách cộng,trừ lũy thừa cùng cơ số nhưng khác số mũ. Ta phải làm sao? Mong được bạn nào đó giúp đỡ. Xin chân thành cảm ơn

Trả lời:

Tổng dãy lũy thừa :Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

• Dạng toán này vận dựng 2 phương pháp giới thiệu ở trên

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+2 +2² + . . . +2¹⁰⁰ (*)

° Hướng dẫn:

* Cách 1: Ta viết lại S như sau:

S = 1+ 2(1 +2 +2² + . . .+ 2⁹⁹)

S = 1 + 2(1 + 2 + 2² + . . .+ 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ – 2¹⁰⁰)

⇒ S = 1 + 2(S – 2¹⁰⁰) = 1+2S – 2¹⁰¹

⇒ S = 2¹⁰¹ – 1

* Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

2S = 2(1 +2 +2² + . . . 2¹⁰⁰)

⇔ 2S = 2 +2² + 2³ + . . .+ 2¹⁰¹ (**)

– Lấy (**) trừ đi (*) ta được:

2S – S = (2 + 2² + 2³ + . . . +2¹⁰¹) – (1 +2 +2²  +. . . +2¹⁰⁰)

⇔ S = 2¹⁰¹ – 1.

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Ta nhân cả 2 vế của S_n với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được: 

* Ví dụ 2: Tính:

S = 1 – 2 + 2² – 2³ + 2⁴ – . . . – 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰

° Hướng dẫn:– Ta có:

2S = 2(1 – 2 +2² – 2³ + 2⁴ – . . . – 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

⇔ 2S = 2 – 2² + 2³ – 2⁴ + 2⁵ – . . . – 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹

⇔ 2S S = (2 – 2² + 2³ – 2⁴ + 2⁵ – . . . – 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹) (1 – 2 + 2² – 2³ + 2⁴ – . . . – 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

⇔ 3S = 2¹⁰¹ + 1.

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Ta nhân cả 2 vế của S_n với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được: 

* Ví dụ 3: Tính tổng:

S = 1+3² + 3⁴ + . . .+ 3⁹⁸ + 3¹⁰⁰ (*)

° Hướng dẫn:

– Với bài toán này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

– Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 3² rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

S = 1+3² + 3⁴ + . . .+ 3⁹⁸ + 3¹⁰⁰

⇔ 3².S = 3²(1 +3² + 3⁴ + . . . +3⁹⁸ + 3¹⁰⁰)

⇔ 9S= 3² + 3⁴ + . . .+ 3¹⁰⁰ + 3¹⁰²  (**)

– Ta Trừ vế với vế của (**) cho (*) được:

9S-S= (3² + 3⁴ + . . . 3¹⁰⁰ + 3¹⁰²) – (1+3² +3⁴ + . . . +3⁹⁸ + 3¹⁰⁰)

⇔ 8S = 3¹⁰² – 1

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Ta nhân cả 2 vế của S_n với a^d . Rồi TRỪ vế với vế ta được:

* Ví dụ 4: Tính:

S = 1 – 2³ + 2⁶ – 2⁹ . . . +2⁹⁶ – 2⁹⁹ (*)

° Hướng dẫn:

– Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 2³ ta được:

2³.S =  2³.(1 – 2³ + 2⁶ – 2⁹ + . . .+ 2⁹⁶ – 2⁹⁹)

⇒ 8S = 2³ – 2⁶ + 2⁹ – 2¹² + . . . +2⁹⁹ – 2¹⁰² (**)

– Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:

8S S = (2³ – 2⁶ + 2⁹ – 2¹² + . . . +2⁹⁹ – 2¹⁰²) (1 – 2³ + 2⁶ – 2⁹ + . . .+ 2⁹⁶ – 2⁹⁹)

⇔ 9S = 1 – 2¹⁰² 

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Ta nhân cả 2 vế của S_n với a^d . Rồi CỘNG vế với vế ta được:

II. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều

• Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT các em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn với lớp 6 các em dựa vào cơ sở lý thuyết sau:

– Để đếm được số hạng cảu 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

 Số số hạng = [(số cuối – số đầu):(khoảng cách)] 1

– Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

Tổng = [(số đầu số cuối).(số số hạng)]:2

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+3+5 +7 +… +39

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

S = [20.(39+1)]:2 = 10.40 = 400.

* Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2+5+8+…+59

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là:(59-2):3+1 = 19+1 = 20.

S = [20.(59+2)]:2 = 10.61 = 610.

III. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết

• Ký hiệu: 

• Tính chất:

* Ví dụ: Tính tổng: S_n = 1.2+2.3 +3.4 … n(n+1)

° Hướng dẫn:

– Ta có: 

– Mặt khác, lại có:

 (theo PP quy nạp ở mục I).

 (theo PP quy nạp ở mục I)

IV. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tính tổng: S = 3 8 13 18 … 228

Bài tập 2: Tính các tổng sau:

a) S = 6 +6² + 6³ + … +6⁹⁹ + 6¹⁰⁰

b) S = 5 +11 +17 … 95 +101

c) 

d) 

Bài tập 3: Chứng minh

a) 1.4 +4.7 +7.10 … (3n-2)(3n+1) = n(n+1)²

b) 

Cộng trừ lũy thừa cùng cơ số