Các dạng bài tập ý nghĩa vật lý của đạo hàm
+ Cho một vật chuyển động có phương trình : s = s( t). Vận tốc tức thời tại thời điểm \[{t_0}\] được xác đinh bởi: \[v\left( {{t_0}} \right) = s’\left( {{t_0}} \right)\]
+ Cho một vật chuyển động có phương trình vận tốc: v= v(t). Gia tốc tức thời tại thời điểm \[{t_0}\] được xác định bởi: \[a\left( {{t_0}} \right) = v’\left( {{t_0}} \right)\]
+ Cường độ tức thời của điện lượng Q= Q( t) tại thời điểm \[{t_0}\] là: \[I\left( {{t_0}} \right) = Q’\left( {{t_0}} \right)\]
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Một xe máy chuyển động theo phương trình \[s\left( t \right) = {t^2} + 6t + 10\] trong đó t đơn vị là giây; s là quãng đường đi được đơn vị m. Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3
A. 12 m/ s B .36 km/h C.6 m/s D. 24 m/s
Hướng dẫn giải
Phương trình vận tốc của xe là \[v\left( t \right) = s’\left( t \right) = 2t + 6\] ( m/s)
⇒ vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t = 3 là:
V(3) = 2. 3+ 6 = 12( m/s)
Chọn A.
Ví dụ 2. Một vật chuyển động có phương trình vận tốc là: \[v = 4t + 10\] (m/s) . Tính gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 10s?
A. 2 B. 4 C. 3 d.50
Hướng dẫn giải
Phương trình gia tốc của chuyển động là : \[a\left( t \right) = v’\left( t \right) = 4\left( {m/{s^2}} \right)\]
⇒ Gia tốc của vật trong quá trình chuyển động là \[4\left( {m/{s^2}} \right)\]- không thay đổi.
Chọn B.
Ví dụ 3. Cho một vật chuyển động theo phương trình \[s\left( t \right) = {t^2} – 40t + 10\] trong đó s là quãng đường vật đi được ( m) và t thời gian chuyển động ( s). Hỏi tại thời điểm nào vật dừng lại?
A. 40 s B. 60 s C. 80 s D. 20 s
Hướng dẫn giải
Phương trình vận tốc của chuyển động là :
\[v\left( t \right) = s’\left( t \right) = 2t – 40\] ( m/s )
Khi vật dừng lại thì vận tốc của chuyển động bằng 0. Khi đó; ta có phương trình:
2t – 40= 0 ⇔ t = 20 (s) .
Vậy sau 20s kể từ khi khởi hành vật sẽ dừng lại.
Chọn D.
Ví dụ 4. Một vật chuyển động theo phương trình \[s\left( t \right) = – 2{t^2} + 20t + 100\]. Trong đó; s là quãng đường vật đi được ( m) và t là thời gian vật chuyển động ( s). Hỏi tại thời điểm nào vật có vận tốc tức thời là 4m/s?
A. 3 B. 5 C. 4 D.6
Hướng dẫn giải
Phương trình vận tốc của chuyển động là:
\[v\left( t \right) = s’\left( t \right) = – 4t + 20\] ( m/s)
Để vận tốc tức thời của vật là 4m/s thì – 4t+ 20 = 4 ⇔ t = 4 ( s)
Như vậy sau 4s kể từ lúc xuất phát thì vận tốc tức thời của vật là 4m/s.
Chọn C.
Ví dụ 5. Một chất điểm chuyển động theo phương trình \[s\left( t \right) = {t^3} – 2{t^2} – 1\]( m) là quãng đường vật đi được . Hỏi sau bao lâu kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời của vật là \[56\left( {m/{s^2}} \right)\]?
A. 10 s B. 12 s C. 8 s D.6s
Hướng dẫn giải
Phương trình vận tốc của chuyển động là:
\[v\left( t \right) = s’\left( t \right) = 3{t^2} – 4t\] ( m/s)
Phương trình gia tốc của chuyển động là:
\[a\left( t \right) = v’\left( t \right) = 6t – 4\left( {m/{s^2}} \right)\]
Để gia tốc tức thời của chuyển động là \[56\left( {m/{s^2}} \right)\] thì:
\[6t – 4 = 56 \Leftrightarrow t = 10\left( s \right)\]
Vậy sau 10 s kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời của vật là \[56\left( {m/{s^2}} \right)\]
Chọn A.
Ví dụ 6. Cho vật chuyển động theo phương trình: \[s\left( t \right) = {t^3} – 3{t^2} + 6t\]( m). Tính vận tốc của vật tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu?
A. 1m/s B. 2m/s C. 4 m/s D. 3 m/s
Hướng dẫn giải
Phương trình vận tốc của chuyển động:
\[v\left( t \right) = s’\left( t \right) = 3{t^2} – 6t + 6\]( m/s)
Phương trình gia tốc của chuyển động là:
\[a\left( t \right) = v’\left( t \right) = 6t – 6\left( {m/{s^2}} \right)\]
Gia tốc bị triệt tiêu khi và chỉ khi: 6t – 6= 0 ⇔ t= 1 (s) .
Tại thời điểm t = 1 (s) vận tốc của chuyển động là: v(1)= 3( m/s)
Chọn D.
Ví dụ 7. Cho một vật chuyển động theo phương trình \[s\left( t \right) = {t^{^2}} + mt + 10\](m) . Xác định m biết tại thời điểm t = 3 thì vận tốc tức thời của vật là 8m/s.
A. m= 2 B. m= 4 C.m= -2 D. m= 1
Hướng dẫn giải
Phương trình vận tốc của chuyển động là :
\[v\left( t \right) = s’\left( t \right) = 2t + m\]( m/s)
Tại thời điểm t = 3 thì vận tốc tức thời của vật là 8m/s nên ta có:
2. 3 + m= 8 ⇔ m= 2
Vậy m= 2
Chọn A
Ví dụ 8. Cho chất điểm chuyển động theo phương trình : \[s\left( t \right) = m{t^2} + 4t + 10\]( s). Xác định m biết rằng tại thời điểm t = 3 thì gia tốc tức thời của vật là \[a = 4\left( {m/{s^2}} \right)\]
A. m = 1 B. m = 2 C. m = – 2 D. m = 4
Hướng dẫn giải
Phương trình vận tốc tức thời của chuyển động: \[v\left( t \right) = s’\left( t \right) = 2mt + 4\](m/s)
Phương trình gia tốc tức thời của chuyển động là:
\[a\left( t \right) = v’\left( t \right) = 2m{\rm{ }}\left( {m/{s^2}} \right)\]
Tại thời điểm t = 3 thì gia tốc tức thời của vật là \[a = 4\left( {m/{s^2}} \right)\] nên ta có;
2m = 4 ⇔ m = 2
Chọn B.
Ví dụ 9. Cho vật chuyển động theo phương trình : \[s\left( t \right) = {t^3} + m{t^2} – t + 2\]( m) . Biết rằng tại thời điểm t = 1/3( s) vận tốc của chuyển động bị triệt tiêu. Tìm gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 1 s?
A. 4 B. 6 C. 8 D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Phường trình vận tốc của chuyển động là :
\[v\left( t \right) = s’\left( t \right) = 3{t^2} + 2mt – 1\](m/s )
Vận tốc của chuyển động bị triệt tiêu khi và chỉ khi: \[3{t^2} + 2mt – 1 = 0\]
Theo giả thiết vận tốc bị triệt tiêu tại t = 1/3 s nên ta có:
\[\begin{array}{l}
3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + 2m.\frac{1}{3} – 1 = 0\\
\Leftrightarrow m = 1
\end{array}\]
3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + 2m.\frac{1}{3} – 1 = 0\\
\Leftrightarrow m = 1
\end{array}\]
⇒ phương trình vận tốc của chuyển động là: \[v\left( t \right) = 3{t^2} + 2t – 1\](m/s)
⇒ Phương trình gia tốc của chuyển động là : \[a\left( t \right) = 6t + 2\left( {m/{s^2}} \right)\]
Do đó gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 1 là \[a\left( 1 \right) = 8\left( {m/{s^2}} \right)\]
Chọn C.
Bài tập ý nghĩa của đạo hàm
Bài viết khác cùng mục: