Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất – Tiếp tuyến biết hệ số góc

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

I. Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc

Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Phương pháp giải:

+ Bước 1: Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là tiếp điểm; Tính y’
+ Bước 2: Vì hệ số góc là k nên \[f’\left( {{x_0}} \right) = k\]
Giải phương trình tìm được \[{x_0}\]; thay vào hàm số tìm được \[{y_0}\]
Đây là tọa độ tiếp điểm
+ Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến \[y – {y_0} = k\left( {x – {x_0}} \right)\]

Các cách đề bài cho hệ số góc k

+ Cho trực tiếp k=..
+ Cho tiếp tuyến song song với đường thẳng \[d:y = ax + b\] cho trước
Cách làm: Vì tiếp tuyến song song với d nên k = a
Sau khi lập phương trình tiếp tuyến rồi thì kiểm tra xem có bị trùng với hay không.
+ Tiếp tuyến vuông góc với d: y = ax + b
Khi đó \[k.a = – 1 \Leftrightarrow k = \frac{{ – 1}}{a}\]
+ Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc \[\alpha \] => \[k = \pm \tan \alpha \]
+ Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc \[\alpha \] thì \[\left| {\frac{{k – a}}{{1 + ka}}} \right| = \tan \alpha \]
 
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) \[y = {x^3} – 3x + 2\] biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
Giải: 
+ Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là tiếp điểm
+ Ta có \[y’ = 3{x^2} – 3\]
Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 nên ta có 
\[\begin{array}{l}
3{x_0}^2 – 3 = 9\\
\Leftrightarrow {x_0}^2 = 4\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 2\\
{x_0} = – 2
\end{array} \right.
\end{array}\]
+ Với \[{x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 4 \Rightarrow M\left( {2;4} \right)\]
Phương trình tiếp tuyến là \[y – 4 = 9\left( {x – 2} \right) \Leftrightarrow y = 9x – 14\]
+ Với \[{x_0} = – 2 \Rightarrow {y_0} = 0 \Rightarrow M\left( { – 2;0} \right)\]
Phương trình tiếp tuyến là \[y – 0 = 9\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow y = 9x + 18\]
 
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):\[y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\] biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \[\Delta :3x – y + 2 = 0\]
 
Giải:
+ Có \[\Delta :3x – y + 2 = 0 \Rightarrow y = 3x + 2\] + Tiếp tuyến song song với nên k = 3
+ Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là tiếp điểm
\[y’ = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\] + Vì hệ số góc là 3 nên \[\begin{array}{l}
\frac{3}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} = 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = 1\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = – 1\\
{x_0} = – 3
\end{array} \right.
\end{array}\]
 
– Với \[{x_0} = – 1 \Rightarrow {y_0} = – 1\] ta được tiếp điểm M(-1;-1)
Phương trình tiếp tuyến là \[y + 1 = 3\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = 3x + 2\]
(Loại do trùng)
– Với \[{x_0} = – 3 \Rightarrow {y_0} = 5\] ta được tiếp điểm là M(-3;5)
Phương trình tiếp tuyến là \[y – 5 = 3\left( {x + 3} \right) \Leftrightarrow y = 3x + 14\]
 
Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): \[y = – {x^4} – {x^2} + 6\], biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \[d:y = \frac{1}{6}x – 1\]
Giải: 
+ Tiếp tuyến vuông góc với d nên ta có \[k.\frac{1}{6} = – 1 \Leftrightarrow k = – 6\]
+ Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là tiếp điểm
+ \[y’ = – 4{x^3} – 2x\]
+ Vì hệ số góc là -6 nên \[\begin{array}{l}
– 4{x_0}^3 – 2{x_0} = – 6\\
\Leftrightarrow 4{x_0}^3 – 2{x_0} – 6 = 0\\
\Leftrightarrow 2{x_0}^3 – {x_0} – 3 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x_0} – 1} \right)\left( {2x_0^2 + 2{x_0} + 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x_0} = 1
\end{array}\]
– Với \[{x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 4\]=> điểm M(1;4)
Phương trình tiếp tuyến là \[y – 4 = – 6\left( {x – 1} \right) \Leftrightarrow y = – 6x + 10\]
 

II. Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

– Lớn nhất

Cách giải 1:

+ Tính y’
+ Vì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất nên biến đổi y’ về dạng \[y’ = {\left( {…} \right)^2} + m \ge m\]
 dấu bằng xảy ra tại x0
+ Khi đó x0 là hoành độ tiếp điểm, k = m

Cách giải 2: 

Sử dụng công thức:
\[\begin{array}{l}
{k_{\min }} = y’\left( {{x_0}} \right);{\rm{ }}y”\left( {{x_0}} \right) = 0\\
{k_{\max }} = y’\left( {{x_0}} \right);{\rm{ }}y”\left( {{x_0}} \right) = 0
\end{array}\]
B1: Giải phương trình \[y”\left( {{x_0}} \right) = 0\] ta được \[{{x_0}}\]
B2: Tính \[{k_{\min }} = y’\left( {{x_0}} \right)\]
B3: Viết phương trình tiếp tuyến.
 
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^3} – 3{x^2} + 2\] biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
Giải theo cách 1:
+ Ta có \[y’ = 3{x^2} – 6x\]
+ Tìm miny’:
\[\begin{array}{l}
y’ = 3{x^2} – 6x = 3\left( {{x^2} – 2x + 1} \right) – 3\\
= 3{\left( {x – 1} \right)^2} – 3 \ge – 3
\end{array}\]
\[ \Rightarrow \min y’ = – 3\], dấu bằng xảy ra tại \[{x_0} = 1\]
Vậy k = -3; \[{x_0} = 1\] => \[{y_0} = 0\]
+ Phương trình tiếp tuyến là \[y – 0 = – 3\left( {x – 1} \right) \Leftrightarrow y = – 3x + 3\]
 
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^3} + 6{x^2} – 9x + 5\] biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
Giải theo cách 2:
+ Có \[\begin{array}{l}
y’ = 3{x^2} + 12x – 9\\
y” = 6x + 12\\
y”\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 6{x_0} + 12 = 0\\
\Leftrightarrow {x_0} = – 2 \Rightarrow {y_0} = 39
\end{array}\]
+ Khi đó \[k = y’\left( {{x_0}} \right) = – 21\]
+ Phương trình tiếp tuyến là \[\begin{array}{l}
y – 39 = – 21\left( {x + 2} \right)\\
\Leftrightarrow y = – 21x – 3
\end{array}\]
 

44 câu trắc nghiệm tiếp tuyến của đồ thị

Like share và ủng hộ chúng mình nhé:

Donate ủng hộ

Nếu thấy bài biết hay và hữu ích hãy donate cho blog nhé

Donate qua ví MOMO:

Donate qua Viettel Pay: