Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất – Tiếp tuyến biết hệ số góc

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất – Tiếp tuyến biết hệ số góc lớp 11

Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

+ Bước 1: Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là tiếp điểm; Tính y’

+ Bước 2: Vì hệ số góc là k nên \[f’\left( {{x_0}} \right) = k\]

Giải phương trình tìm được \[{x_0}\]; thay vào hàm số tìm được \[{y_0}\]

Đây là tọa độ tiếp điểm

+ Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến \[y – {y_0} = k\left( {x – {x_0}} \right)\]

+ Cho trực tiếp k=..

+ Cho tiếp tuyến song song với đường thẳng \[d:y = ax + b\] cho trước

Cách làm: Vì tiếp tuyến song song với d nên k = a

Sau khi lập phương trình tiếp tuyến rồi thì kiểm tra xem có bị trùng với hay không.

+ Tiếp tuyến vuông góc với d: y = ax + b

Khi đó \[k.a = – 1 \Leftrightarrow k = \frac{{ – 1}}{a}\]

+ Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc \[\alpha \] => \[k = \pm \tan \alpha \]

+ Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc \[\alpha \] thì \[\left| {\frac{{k – a}}{{1 + ka}}} \right| = \tan \alpha \]

 

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) \[y = {x^3} – 3x + 2\] biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.

Giải: 

+ Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là tiếp điểm

+ Ta có \[y’ = 3{x^2} – 3\]

Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 nên ta có 

\[\begin{array}{l}
3{x_0}^2 – 3 = 9\\
\Leftrightarrow {x_0}^2 = 4\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 2\\
{x_0} = – 2
\end{array} \right.
\end{array}\]

+ Với \[{x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 4 \Rightarrow M\left( {2;4} \right)\]

Phương trình tiếp tuyến là \[y – 4 = 9\left( {x – 2} \right) \Leftrightarrow y = 9x – 14\]

+ Với \[{x_0} = – 2 \Rightarrow {y_0} = 0 \Rightarrow M\left( { – 2;0} \right)\]

Phương trình tiếp tuyến là \[y – 0 = 9\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow y = 9x + 18\]

 

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):\[y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\] biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \[\Delta :3x – y + 2 = 0\]

 

Giải:
+ Có \[\Delta :3x – y + 2 = 0 \Rightarrow y = 3x + 2\] + Tiếp tuyến song song với nên k = 3
+ Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là tiếp điểm
\[y’ = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\] + Vì hệ số góc là 3 nên \[\begin{array}{l}
\frac{3}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} = 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = 1\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = – 1\\
{x_0} = – 3
\end{array} \right.
\end{array}\]

 

– Với \[{x_0} = – 1 \Rightarrow {y_0} = – 1\] ta được tiếp điểm M(-1;-1)
Phương trình tiếp tuyến là \[y + 1 = 3\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = 3x + 2\]

(Loại do trùng)
– Với \[{x_0} = – 3 \Rightarrow {y_0} = 5\] ta được tiếp điểm là M(-3;5)
Phương trình tiếp tuyến là \[y – 5 = 3\left( {x + 3} \right) \Leftrightarrow y = 3x + 14\]

 

Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): \[y = – {x^4} – {x^2} + 6\], biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \[d:y = \frac{1}{6}x – 1\]

+ Tiếp tuyến vuông góc với d nên ta có \[k.\frac{1}{6} = – 1 \Leftrightarrow k = – 6\]

+ Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là tiếp điểm

+ \[y’ = – 4{x^3} – 2x\]

+ Vì hệ số góc là -6 nên \[\begin{array}{l}
– 4{x_0}^3 – 2{x_0} = – 6\\
\Leftrightarrow 4{x_0}^3 – 2{x_0} – 6 = 0\\
\Leftrightarrow 2{x_0}^3 – {x_0} – 3 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x_0} – 1} \right)\left( {2x_0^2 + 2{x_0} + 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x_0} = 1
\end{array}\]

– Với \[{x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 4\]=> điểm M(1;4)

Phương trình tiếp tuyến là \[y – 4 = – 6\left( {x – 1} \right) \Leftrightarrow y = – 6x + 10\]

 

+ Tính y’

+ Vì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất nên biến đổi y’ về dạng \[y’ = {\left( {…} \right)^2} + m \ge m\]

 dấu bằng xảy ra tại x0

+ Khi đó x0 là hoành độ tiếp điểm, k = m

Sử dụng công thức:

\[\begin{array}{l}
{k_{\min }} = y’\left( {{x_0}} \right);{\rm{ }}y”\left( {{x_0}} \right) = 0\\
{k_{\max }} = y’\left( {{x_0}} \right);{\rm{ }}y”\left( {{x_0}} \right) = 0
\end{array}\]

B1: Giải phương trình \[y”\left( {{x_0}} \right) = 0\] ta được \[{{x_0}}\]

B2: Tính \[{k_{\min }} = y’\left( {{x_0}} \right)\]

B3: Viết phương trình tiếp tuyến.

 

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^3} – 3{x^2} + 2\] biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

+ Ta có \[y’ = 3{x^2} – 6x\]

+ Tìm miny’:

\[\begin{array}{l}
y’ = 3{x^2} – 6x = 3\left( {{x^2} – 2x + 1} \right) – 3\\
= 3{\left( {x – 1} \right)^2} – 3 \ge – 3
\end{array}\]

\[ \Rightarrow \min y’ = – 3\], dấu bằng xảy ra tại \[{x_0} = 1\]

Vậy k = -3; \[{x_0} = 1\] => \[{y_0} = 0\]

+ Phương trình tiếp tuyến là \[y – 0 = – 3\left( {x – 1} \right) \Leftrightarrow y = – 3x + 3\]

 

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^3} + 6{x^2} – 9x + 5\] biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

+ Có \[\begin{array}{l}
y’ = 3{x^2} + 12x – 9\\
y” = 6x + 12\\
y”\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 6{x_0} + 12 = 0\\
\Leftrightarrow {x_0} = – 2 \Rightarrow {y_0} = 39
\end{array}\]

+ Khi đó \[k = y’\left( {{x_0}} \right) = – 21\]

+ Phương trình tiếp tuyến là \[\begin{array}{l}
y – 39 = – 21\left( {x + 2} \right)\\
\Leftrightarrow y = – 21x – 3
\end{array}\]

 

Xem thêm Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm