Cách xác định thiết diện đơn giản và dễ hiểu.
I. Cơ sở lý thuyết – Thiết diện là gì?
+ Kết quả 1. Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng a, b song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó
+ Kết quả 2. Cho trước đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa a và cắt (α) theo giao tuyến d thì d song song với a
+ Kết quả 3. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng này
II. Phương pháp Cách xác định thiết diện
Cho hình chóp S, xác định thiết diện của chóp khi cắt bởi mặt phẳng (α).
1. Tìm giao tuyến của (α) với các mặt của chóp
2. Có 2 loại giao tuyến: giao tuyến có yếu tố song song và giao tuyến đi qua 2 điểm chung. Để tìm giao tuyến có yếu tố song song ta dùng 3 kết quả ở trên. Để tìm giao tuyến đi qua 2 điểm ta dùng phương pháp xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng.
Cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), có hai cách làm như sau:
* Cách 1:
+ Những bài đơn giản, có sẵn một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và một đường thẳng a nào đó thuộc mặt phẳng (P)
+ Trong mp( Q), 2 đường thẳng a và d cắt nhau tai điểm A. Khi đó điểm A chính là giao điểm của đường thẳng d và mp(P)
* Cách 2: Chọn mặt phẳng phụ:
+ Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d, sao cho dễ dàng tìm giao tuyến của mp (Q) với mp (P)
+ Tìm giao tuyến của mp(P) và (Q) – gọi là đường thẳng d.
+ Tìm giao điểm của đường thẳng a và đường thẳng d – gọi là điểm A
Khi đó: điểm A chính là giao điểm của đường thẳng d và mp (P)
III. Ví dụ minh họa – Tìm thiết diện của tứ diện
Ví dụ 1: Cho ABCD là một tứ giác lồi và điểm S không thuộc mp(ABCD). Hình nào sau đây không thể là thiết diện của hình chóp S.ABCD ?
A. Tam giác B. Tứ giác C. Ngũ giác D. Lục giác
Lời giải
Chọn D
Hình chóp S. ABCD có mặt nên thiết diện của hình chóp có tối đa 5 cạnh
Vậy thiết diện không thể là lục giác
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và điểm M ở trên cạnh SB. Mặt phẳng (ADM) cắt hình chóp theo thiết diện là
A. tam giác B. Tứ giác C. hình bình hành D. ngũ giác
Lời giải
Chọn B
+ Trong mp(ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD
+ Trong mp(SBD) gọi H là giao điểm của SO và DM
+ Trong mp(SAC) gọi K là giao điểm của AH và SC
+ Ta tìm giao tuyến của mp (ADM) với các mặt của hình chóp:
(ADM) ∩ (SAD) = AD
(ADM) ∩ (SDC) = DK
(ADM) ∩ (SCB) = KM
(ADM) ∩ (SAB) = AM
⇒ Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(ADM) là tứ giác ADKM
Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (PAB) là hình gì?
A. Tam giác B. Tứ giác C. Hình thang D. Hình bình hành
Lời giải
Cách tìm thiết diện của hình chóp cực hay – Toán lớp 11
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = AB ∩ CD
Trong mặt phẳng (SCD) gọi Q = SC ∩ EP
Ta có E ∈ AB nên EP ⊂ (ABP) ⇒ Q ∈ (ABP), do đó Q = SC ∩ (ABP)
+ Giao tuyến của mp (PAB) với các mặt của hình chóp:
(PAB) ∩ (SAB) = AB
(PAB) ∩ (SBC) = BQ
(PAB) ∩ (SCD) = QP
(PAB) ∩ (SAD) = PA
Thiết diện là tứ giác ABQP
Chọn B
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; BC. Thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP) là hình gì?
A. Ngũ giác B. Tứ giác C. Hình thang D. Hình bình hành
Lời giải
Cách tìm thiết diện của hình chóp cực hay – Toán lớp 11
+ Trong mặt phẳng (ABCD) gọi F và G lần lượt là các giao điểm của MN với AD và CD.
+ Trong mặt phẳng (SAD) gọi H = SA ∩ FP
+ Trong mặt phẳng (SCD) gọi K = SC ∩ PG
Ta có F ∈ MN ⇒ F ∈ (MNP)
⇒ FP ⊂ (MNP) ⇒ H ∈ (MNP)
Cách tìm thiết diện của hình chóp cực hay – Toán lớp 11
Tương tự K = SC ∩ (MNP)
+ Giao tuyến của mp (MNP) với các mặt của hình chóp:
(MNP) ∩ (SAB) = HM
(MNP) ∩ (ABCD) = MN
(MNP) ∩ (SBC) = NK
(MNP) ∩ (SCD) = KP
(MNP) ∩ (SAD) = PH
Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(MNP) là ngũ giác HMNKP
Chọn A
Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD; gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Trên đường thẳng CD lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (HKM) là:
A. Tứ giác HKMN với N thuộc AD
B. Hình thang HKMN với N thuộc AD và HK // MN
C. Tam giác HKL với L là giao điểm của KM và BD
D. Tam giác HKT với T là giao điểm của HM và AD
+ Trong mặt phẳng (BCD), do KM không song song với CD nên gọi L là giao điểm của KM và BD.
+ Ta có: (HKM) ∩ (ABC) = HK
(HKM) ∩ (BCD) = KL
(HKM) ∩ (ABD) = HL
Vậy thiết diện là tam giác HKL.
Chọn C
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD hình thang; đáy không là hình thang. Gọi A’, B’, C’ là ba điểm lấy trên các cạnh SA, SB, SC. Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’C’) là?
A. Tam giác B. Tứ giác C. Ngũ giác D. Tứ giác hoặc ngũ giác.
+ Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD
+ Trong (SAC), gọi O’ = A’C’ ∩ SO
+ Trong (SBD), gọi D’ = B’O’ ∩ SD
Có hai trường hợp :
• Nếu D’ thuộc cạnh SD thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’
• Nếu D’ thuộc không cạnh SD thì
Gọi E = CD ∩ C’D’
F = AD ∩ A’D’
⇒ thiết diện là ngũ giác A’B’C’EF
Chọn D
Bài viết khác cùng mục: