4 Bước cực dễ tìm Góc giữa mặt bên và mặt đáy hình chóp. Định nghĩa và cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng – ví dụ minh họa. Giới thệu ến các em 4 bước cơ bản xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy cực nhanh và chính xác.
Định nghĩa góc giữa 2 mặt phẳng – Góc giữa 2 mặt phẳng lớp 11
Để giúp các bạn nắm vững kiến thức về góc giữa 2 mặt phẳng, đầu tiên chúng ta sẽ tìm hiểu về khái niệm của góc giữa 2 mặt phẳng.
Khái niệm: Góc giữa 2 mặt phẳng là gì? Góc giữa 2 mặt phẳng là góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là ‘góc khối’, là phần không gian bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Góc giữa 2 mặt phẳng được đo bằng góc giữa 2 đường thẳng trên mặt 2 phẳng có cùng trực giao với giao tuyến của 2 mặt phẳng.
Tính chất: Từ định nghĩa trên ta có:
- Góc giữa 2 mặt phẳng song song bằng 0 độ,
- Góc giữa 2 mặt phẳng trùng nhau bằng 0 độ.
Tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian – Góc giữa mặt bên và mặt đáy
Bước 1: Tìm giao tuyến của 2 mặt
Bước 2: Từ điểm còn lại của mặt bên (thường là từ đỉnh), hạ vuông góc xuống mặt kia
Bước 3: Tiếp tục hạ vuông góc với giao tuyến
Bước 4: Nối lên điểm còn lại ở B2. Đỉnh góc nằm trên giao tuyến
Bước 3: Tiếp tục hạ vuông góc với giao tuyến
Bước 4: Nối lên điểm còn lại ở B2. Đỉnh góc nằm trên giao tuyến
Ví dụ minh họa – Xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy
Ví dụ 1: – Cách vẽ góc giữa mặt bên và đáy
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình chữ nhật AB=a; AD=2a; SA=2a.
a) Tính góc giữa (SCD) và (ABCD)
b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD)
c) Tính góc giữa (SBD) và (ABCD)
Giải:
a) Tính góc giữa (SCD) và (ABCD)
+ Giao tuyến CD
+ Từ S hạ vuông góc xuống đáy tại A
+ Từ A kẻ vuông góc vào giao tuyến ta được AD
+ Nối D với S ta được góc SDA
+ Tính góc: Thấy tam giác SAD vuông cân nên \[\widehat {SAD} = {45^0}\]
b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD)
+ Giao tuyến BC
+ Từ S hạ vuông góc xuống đáy tại A
+ Từ A hạ vuông góc vào giao tuyến ta được AB
+ Nối B với S ta được góc SBA
+ Tính góc:
– Tam giác SAB vuông tại A nên:
\[\begin{array}{l}
\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{2a}}{a} = 2\\
\Rightarrow \widehat {SBA} \approx {63^0}
\end{array}\]
\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{2a}}{a} = 2\\
\Rightarrow \widehat {SBA} \approx {63^0}
\end{array}\]
c) Tính góc giữa (SBD) và (ABCD)
+ Giao tuyến BD
+ Từ S hạ vuông góc xuống đáy ta được A
+ Từ A kẻ vuông góc vào giao tuyến BD ta được AH
+ Nối H với S ta được góc SHA
+ Tính góc
– Tam giác ABD vuông tại A, theo hệ thức lượng:
\[\begin{array}{l}
\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\\
{\rm{ = }}\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\\
\Rightarrow AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}
\end{array}\]
\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\\
{\rm{ = }}\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\\
\Rightarrow AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}
\end{array}\]
– Tam giác SHA vuông tại A:
\[\begin{array}{l}
\tan \widehat {SHA} = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{{2a}}{{\frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}}} = \sqrt 5 \\
\Rightarrow \widehat {SHA} \approx {66^0}
\end{array}\]
\tan \widehat {SHA} = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{{2a}}{{\frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}}} = \sqrt 5 \\
\Rightarrow \widehat {SHA} \approx {66^0}
\end{array}\]
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vuôn góc với (ABC), tam giác ABC đều cạnh a. Cho SA = 3a/2
Tính góc giữa (SBC) và (ABC)
Tính góc giữa (SBC) và (ABC)
Giải:
+ Giao tuyến BC
+ Từ S kẻ vuông góc xuống đáy (ABC) ta được điểm A
+ Từ A kẻ vuông góc vào BC ta được điểm M (M là trung điểm của BC)
+ Nối M lên S ta được góc SMA
+ Tính:
– Tam giác SAM vuông tại A nên: \[\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}}\] Với \[AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] (đường cao của tam giác đều)
\[\begin{array}{l}
\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{{\frac{{3a}}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \sqrt 3 \\
\Rightarrow \widehat {SMA} = {60^0}
\end{array}\]
\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{{\frac{{3a}}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \sqrt 3 \\
\Rightarrow \widehat {SMA} = {60^0}
\end{array}\]
Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a. Tính góc giữa (BDA’) và (ABCD)
Giải:
+ Giao tuyến BD
+ Từ điểm A’ kẻ vuông góc xuống đáy (ABCD) ta được điểm A
+ Từ A kẻ vuông góc vào giao tuyến ta được O (O là giao 2 đường chéo)
+ Nối O với A’ ta được góc A’OA
+ Tính
– Có \[AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]
– Tam giác A’AO vuông tại A:
\[\begin{array}{l}
\tan \widehat {A’OA} = \frac{{A’A}}{{AO}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2 \\
\Rightarrow \widehat {A’OA} \approx {55^0}
\end{array}\]
\tan \widehat {A’OA} = \frac{{A’A}}{{AO}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2 \\
\Rightarrow \widehat {A’OA} \approx {55^0}
\end{array}\]
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, \[SA = a\sqrt 2 \]. Đáy là hình thang vuông tại A và D, biết AB=2a; AD=DC=a.
Tính góc giữa (SBC) và (ABC)
Giải:
Tính góc giữa (SBC) và (ABC)
Giải:
+ Giao tuyến BC
+ Từ S kẻ vuông góc xuống đáy (ABCD) ta được điểm A
+ Từ A kẻ vuông góc và giao tuyến BC ta được điểm C (chứng minh bằng hình học phẳng)
+ Nối C với S ta được \[\widehat {SCA}\]
+ Tính: Tam giác SAC vuông cân nên \[\widehat {SCA} = {45^0}\].
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đáy là tam giác ABC vuông tại C và BC=a/2.
Tính góc giữa (SBC) và mặt đáy.
Tính góc giữa (SBC) và mặt đáy.
Giải:
+ Giao tuyến BC
+ Từ S kẻ vuông góc xuống đáy (ABC) ta được H (H là trung điểm của AB do tam giác SAB đều và (SAB) vuông với đáy)
+ Từ H kẻ vuông góc vào giao tuyến BC ta được M (M là trung điểm của BC do HM//AC và H là trung điểm của AB)
+ Nối M với S ta được \[\widehat {SMH}\]
+ Tính \[\widehat {SMH}\] dựa vào tam giác SMH vuông tại H; cần tính SH và HM
– Tam giác SAB đều nên \[SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
– HM là đường trung bình của tam giác ABC nên:
\[\begin{array}{l}
AC = \sqrt {A{B^2} – B{C^2}} \\
{\rm{ = }}\sqrt {{a^2} – \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\
\Rightarrow HM = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}
\end{array}\]
AC = \sqrt {A{B^2} – B{C^2}} \\
{\rm{ = }}\sqrt {{a^2} – \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\
\Rightarrow HM = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}
\end{array}\]
Vậy \[\begin{array}{l}
\tan \widehat {SMH} = \frac{{SH}}{{HM}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}} = 2\\
\Rightarrow \widehat {SMH} \approx {63^0}
\end{array}\]
\tan \widehat {SMH} = \frac{{SH}}{{HM}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}} = 2\\
\Rightarrow \widehat {SMH} \approx {63^0}
\end{array}\]
Xem thêm
Kĩ thuật tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 11
Cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Bài viết khác cùng mục: