Giải Hệ phương trình chứa tham số lớp 9 – Thi vào lớp 10

Giải Hệ phương trình chứa tham số lớp 9 – Thi vào lớp 10

Giải hệ phương trình nâng cao

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}
mx + y = 2\\
4x + my = 5
\end{array} \right.\]

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

Giải: 

Sử dụng phương pháp thế với những hệ chứa tham số.

\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
mx + y = 2\\
4x + my = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 2 – mx\\
4x + m\left( {2 – mx} \right) = 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 2 – mx\\
4x + 2m – {m^2}x = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 2 – mx\\
\left( {4 – {m^2}} \right)x = 5 – 2m{\rm{ }}\left( * \right)
\end{array} \right.
\end{array}\]

Hệ có nghiệm duy nhất khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất <=> \[4 – {m^2} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 2\]

Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 6: Cho hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}
x + my = 3\\
mx + 4y = 6
\end{array} \right.\]

a) Tìm m để hệ vô nghiệm

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.

c) Tìm m để nghiệm duy nhất là số nguyên.

d) Tìm m để nghiệm duy nhất là số dương.

e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m trong trường hợp nghiệm duy nhất.

Giải: 

\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + my = 3\\
mx + 4y = 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3 – my\\
m\left( {3 – my} \right) + 4y = 6
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3 – my\\
3m – {m^2}y + 4y = 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3 – my\\
\left( {4 – {m^2}} \right)y = 6 – 3m{\rm{ }}\left( * \right)
\end{array} \right.
\end{array}\]

a) Hệ vô nghiệm khi phương trìn (*) vô nghiệm

\[\left\{ \begin{array}{l}
4 – {m^2} = 0\\
6 – 3m \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = \pm 2\\
m \ne 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = – 2\]

b) Hệ có nghiệm duy nhất khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất

\[4 – {m^2} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 2\]

Nghiệm duy nhất đó là :

\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 – my\\
y = \frac{{6 – 3m}}{{4 – {m^2}}} = \frac{3}{{2 + m}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{6}{{2 + m}}\\
y = \frac{3}{{2 + m}}
\end{array} \right.\]

c) Nghiệm duy nhất là số nguyên

\[x;y \in \Leftrightarrow 3 \vdots \left( {2 + m} \right) \Leftrightarrow \left( {2 + m} \right) \in \left\{ {3; – 3;1; – 1} \right\}\]

\[\begin{array}{l}
*{\rm{ }}2 + m = 3 \Leftrightarrow m = 1\\
*{\rm{ }}2 + m = – 3 \Leftrightarrow m = – 5\\
*{\rm{ }}2 + m = 1 \Leftrightarrow m = – 1\\
*{\rm{ }}2 + m = – 1 \Leftrightarrow m = – 3
\end{array}\]

d) Nghiệm duy nhất là số dương:

\[\begin{array}{l}
x;y > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{6}{{2 + m}} > 0\\
\frac{3}{{2 + m}} > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow 2 + m > 0 \Leftrightarrow m > – 2
\end{array}\]

Kết hợp với điều kiện có nghiệm duy nhất ta được \[m > – 2;m \ne 2\]

e) Hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thộc vào m:

\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{6}{{2 + m}}\\
y = \frac{3}{{2 + m}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{6}{{2 + m}}\\
2y = \frac{6}{{2 + m}}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow x – 2y = 0
\end{array}\]

Hệ phương trình chứa tham số lớp 9