Cách biến đổi đẳng thức cho trước thành đẳng thức Logarit dễ hiểu – Biến đổi biểu thức Logarit

Biến đổi biểu thức Logarit. Cách biến đổi đẳng thức cho trước thành đẳng thức Logarit dễ hiểu.

Phương pháp Biến đổi biểu thức Logarit – Công thức logarit

Từ đẳng thức đã cho thêm bớt thích hợp để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc hiệu. Sau đó, lấy loga 2 vế ( lựa chọn cơ số thích hợp- dựa vào đáp án) …,đồng thời áp dụng các tính chất của logarit..

Bài tập Biến đổi biểu thức Logarit

Ví dụ 1: Cho \[a > 0;{\rm{ }}b > 0\] thỏa mãn điều kiện \[{a^2} + {b^2} = 7ab\]. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. \[3\log \left( {a + b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right)\]

B. \[\log \left( {a + b} \right) = \frac{3}{2}\left( {\log a + \log b} \right)\]

C. \[2\left( {\log a + \log b} \right) = \log \left( {7ab} \right)\]

D. \[\log \frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right)\]

Giải:

 \[{a^2} + {b^2} = 7ab \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 9ab\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{a + b}}{3}} \right)^2} = ab\]

Lấy Log 2 vế ta được:

\[2.\log \frac{{a + b}}{3} = \log ab\]

\[ \Leftrightarrow 2.\log \frac{{a + b}}{3} = \log a + \log b\]

\[ \Leftrightarrow \log \frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right)\]

Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn \[{x^2} + 9{y^2} = 6xy\]. Khi đó biểu thức \[M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}\] có giá trị bằng:

A. \[M = \frac{1}{4}\]                 B. \[M = 1\]

C. \[M = \frac{1}{2}\]                  D. \[M = \frac{1}{3}\]

Giải:

\[{x^2} + 9{y^2} = 6xy \Leftrightarrow {x^2} – 6xy + 9{y^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x – 3y} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3y\]

Khi đó:

\[M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}\]

\[ = \frac{{{{\log }_{12}}12 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}\]

\[ = \frac{{{{\log }_{12}}12xy}}{{{{\log }_{12}}{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}}\] thay x = 3y

\[ = \frac{{{{\log }_{12}}36{y^2}}}{{{{\log }_{12}}36{y^2}}} = 1\]

Ví dụ 3: Cho a, b là hai số thực dương khác 1 thỏa mãn \[{\log _{{a^2}}}b + {\log _{{b^2}}}a = 1\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \[a = \frac{1}{b}\]                B. \[a = b\]

C. \[a = \frac{1}{{{b^2}}}\]                 D. \[a = {b^2}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}
{\log _{{a^2}}}b + {\log _{{b^2}}}a = 1\\
\Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _a}b + \frac{1}{2}{\log _b}a = 1\\
\Leftrightarrow {\log _a}b + {\log _b}a = 2\\
\Leftrightarrow {\log _a}b + \frac{1}{{{{\log }_a}b}} = 2\\
\Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} + 1 = 2{\log _a}b\\
\Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}b – 1} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow {\log _a}b = 1\\
\Leftrightarrow a = b
\end{array}\]

Ví dụ 4: Cho các số dương a, b thỏa mãn \[4{a^2} + 9{b^2} = 13ab\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \[\log \sqrt {2a + 3b} = \log \sqrt a + 2\log \sqrt b \]

B. \[\frac{1}{4}\log \left( {2a + 3b} \right) = 3\log a + 2\log b\]

C. \[\log \left( {\frac{{2a + 3b}}{5}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right)\]

D. \[\log \left( {\frac{{2a + 3b}}{4}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right)\]

Giải:

\[\begin{array}{l}
4{a^2} + 9{b^2} = 13ab\\
\Leftrightarrow 4{a^2} + 12ab + 9{b^2} = 25ab\\
\Leftrightarrow {\left( {2a + 3b} \right)^2} = 25ab\\
\Leftrightarrow \frac{{2a + 3b}}{5} = \sqrt {ab}
\end{array}\]

Lấy log 2 vế ta được:

\[\begin{array}{l}
\log \left( {\frac{{2a + 3b}}{5}} \right) = \log \sqrt {ab} \\
\Leftrightarrow \log \left( {\frac{{2a + 3b}}{5}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right)
\end{array}\]

Ví dụ 5: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \[{x^2} + 4{y^2} = 12xy\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \[{\log _2}\left( {\frac{{x + 2y}}{4}} \right) = {\log _2}x – {\log _2}y\]

B. \[{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = 2 + \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_2}y} \right)\]

C. \[{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y + 1\]

D. \[4{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y\]

Giải:

\[\begin{array}{l}
{x^2} + 4{y^2} = 12xy\\
\Leftrightarrow {x^2} + 4xy + 4{y^2} = 16xy\\
\Leftrightarrow {\left( {x + 2y} \right)^2} = 16xy\\
\Leftrightarrow {\log _2}{\left( {x + 2y} \right)^2} = {\log _2}16xy\\
\Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = {\log _2}16 + {\log _2}x + {\log _2}y\\
\Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = 4 + {\log _2}x + {\log _2}y\\
\Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2y} \right) = 2 + \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_2}y} \right)
\end{array}\]

Ví dụ 6: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} = 14ab\]. mệnh đề nào sau đây sai?

A. \[\ln \frac{{a + b}}{4} = \frac{{\ln a + \ln b}}{2}\]

B. \[2{\log _2}\left( {a + b} \right) = 4 + {\log _2}a + {\log _2}b\]

C. \[2{\log _4}\left( {a + b} \right) = 4 + {\log _4}a + {\log _4}b\]

D. \[2\log \frac{{a + b}}{4} = \log a + \log b\]

Giải:

\[\begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 14ab\\
\Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} = 16ab\\
\Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 16ab{\rm{ (1)}}\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{{a + b}}{4}} \right)^2} = ab{\rm{ (2)}}
\end{array}\]

Lấy ln 2 vế của (2) ta được:

\[\begin{array}{l}
\ln {\left( {\frac{{a + b}}{4}} \right)^2} = \ln ab \Leftrightarrow 2\ln \frac{{a + b}}{4} = \ln ab\\
\Leftrightarrow \ln \frac{{a + b}}{4} = \frac{1}{2}\ln ab \Leftrightarrow \ln \frac{{a + b}}{4} = \ln \sqrt {ab}
\end{array}\]. Vậy A đúng

Lấy \[{\log _2}\] 2 vế của (1) ta được:

\[\begin{array}{l}
{\log _2}{\left( {a + b} \right)^2} = {\log _2}16ab\\
\Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {a + b} \right) = {\log _2}16 + {\log _2}a + {\log _2}b\\
\Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {a + b} \right) = 4 + {\log _2}a + {\log _2}b
\end{array}\]. Vậy B đúng

Lấy \[{\log _4}\] 2 vế của (1) ta được:

\[\begin{array}{l}
{\log _4}{\left( {a + b} \right)^2} = {\log _4}16ab\\
\Leftrightarrow 2{\log _4}\left( {a + b} \right) = {\log _4}16 + {\log _4}a + {\log _4}b\\
\Leftrightarrow 2{\log _4}\left( {a + b} \right) = 2 + {\log _4}a + {\log _4}b
\end{array}\]. Vậy C sai

Lấy log 2 vế của (2) ta được:

\[\begin{array}{l}
\log {\left( {\frac{{a + b}}{4}} \right)^2} = \log ab\\
\Leftrightarrow 2\log \frac{{a + b}}{4} = \log a + \log b
\end{array}\]. Vậy D đúng

Xem thêm Cho đồ thị của hàm y’, cách xác định GTLN GTNN của hàm hợp

Giải trắc nghiệm Logarit bằng máy tính Casio

Bài tập luyện công thức logarit