Tìm m để hàm số có GTLN GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước

Tìm m để hàm số có GTLN GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp giải GTLN GTNN thỏa mãn điều kiện

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm xi 

Bước 3: Tính các f(xi), so sánh và tìm ra GTLN, GTNN

Bước 4: Giải điều  kiện

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị thực của a để hàm số \[y = – {x^3} – 3{x^2} + a\] có giá trị nhỏ nhất trên [-1; 1] bằng 0.

Giải:

\[y’ = – 3{x^2} – 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \in \left[ { – 1;1} \right]\\
x = – 2 \notin \left[ { – 1;1} \right] \end{array} \right.\]

\[\begin{array}{l}
f\left( { – 1} \right) = a – 2\\
f\left( 0 \right) = a\\
f\left( 1 \right) = a – 4
\end{array}\]

Vậy \[\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = a – 4\]

Theo bài \[\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x – 4 = 0 \Leftrightarrow a = 4\]

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số \[y = \frac{{x – {m^2}}}{{x + 8}}\] có giá trị nhỏ nhất trên [0;3] bằng -2

Giải:

Ta có \[y’ = \frac{{8 + {m^2}}}{{{{\left( {x + 8} \right)}^2}}} > 0{\rm{ }}\forall x \ne – 8\]

Nên hàm số đồng biến trên [0;3]

Vậy \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 0 \right) = – \frac{{{m^2}}}{8}\]

Theo bài \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = – 2 \Leftrightarrow – \frac{{{m^2}}}{8} = – 2 \Leftrightarrow m = \pm 4\]

Ví dụ 3: Cho hàm số \[y = \frac{{x + m}}{{x – 1}}\]. Tìm m để \[\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]} = 3\]

Giải:

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số \[y = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} – 2\] có giá trị nhỏ nhất trên [0;2] bằng 3.

Giải:

Ta có \[y’ = 3{x^2} + {m^2} + 1 > 0{\rm{ }}\forall x\]

=> hàm số luôn đồng biến

Vậy \[\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;2} \right]} = y\left( 0 \right) = {m^2} – 2\]

Theo bài \[\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;2} \right]} = 7 \Leftrightarrow {m^2} – 2 = 7 \Leftrightarrow m = \pm 3\]

Ví dụ 5: Cho hàm số \[y = \left| {{x^2} – 2x + m} \right|\]. Tìm m để hàm số có giá trị lớn nhất trên [-1;2] bằng 5.

Giải :

Xét hàm số \[y = f\left( x \right) = {x^2} – 2x + m\]

Ta có \[y’ = 2x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\]

Khi đó 

\[\mathop {\max y}\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} = \mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} \]

           \[ = \max \left\{ {\left| {f\left( { – 1} \right)} \right|;\left| {f\left( 1 \right)} \right|;\left| {f\left( 2 \right)} \right|} \right\}\]

Với :

\[\begin{array}{l}
\left| {f\left( { – 1} \right)} \right| = \left| {3 + m} \right|\\
\left| {f\left( 1 \right)} \right| = \left| {m – 1} \right|\\
\left| {f\left( 2 \right)} \right| = \left| m \right|
\end{array}\]

TH1:

\[\begin{array}{l}
\mathop {\max y}\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} = \left| {m + 3} \right| \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {m + 3} \right| \ge \left| {m – 1} \right|\\
\left| {m + 3} \right| \ge \left| m \right|\\
\left| {m + 3} \right| = 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {m + 3} \right| \ge \left| {m – 1} \right|\\
\left| {m + 3} \right| \ge \left| m \right|\\
\left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = 8
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2
\end{array}\]

TH2:

\[\begin{array}{l}
\mathop {\max y}\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} = \left| {m – 1} \right| \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {m – 1} \right| \ge \left| {m + 3} \right|\\
\left| {m – 1} \right| \ge \left| m \right|\\
\left| {m – 1} \right| = 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {m – 1} \right| \ge \left| {m + 3} \right|\\
\left| {m – 1} \right| \ge \left| m \right|\\
\left[ \begin{array}{l}
m = – 4\\
m = 6
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = – 4
\end{array}\]

TH3:

\[\begin{array}{l}
\mathop {\max y}\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} = \left| m \right| \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| m \right| \ge \left| {m + 3} \right|\\
\left| m \right| \ge \left| {m – 1} \right|\\
\left| m \right| = 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| m \right| \ge \left| {m + 3} \right|\\
\left| m \right| \ge \left| {m – 1} \right|\\
m = \pm 5
\end{array} \right.
\end{array}\] (vô nghiệm)

Xem thêm Cách giải các dạng toán tìm max min