Tìm m để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn – Phương trình mũ chứa tham số

Tìm m để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn – Phương trình mũ chứa tham số 

Phương pháp biện luận số nghiệm bằng bảng biến thiên (cô lập tham số)

 Bước 1 : Chúng ta tiến hành cô lập tham số m, nghĩa là chúng ta biến đổi phương trình về dạng phương trình h(m) = g(x), trong đó h(m) là biểu thức chỉ có tham số m và g(x) là biểu thức chỉ có biến x.
 Bước 2 : Lập bảng biến thiến hàm g.
 Bước 3 : Biện luận số nghiệm phương trình và kết luận.

Phương pháp biện luận số nghiệm bằng tam thức bậc hai

 Bước 1 : Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai  \[a{t^2} + bt + c = 0{\rm{ (2)}}\].
 Bước 2 : Dựa vào định lý so sánh nghiệm với một số (định lý Viet)
 Bước 3 : Kết luận

Cách giải Phương trình mũ chứa tham số

B1: Biến đổi phương trình sao cho nhìn ra được cách đặt
B2: Đặt ẩn phụ, tìm tập giá trị của ẩn phụ
B3: Giả bài toán với ẩn phụ mới
 

Tìm m để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện


Phương trình mũ chứa tham số
Phương trình mũ chứa tham số

Bài tập trắc nghiệm

 
Bài 1: Cho phương trình \[\left( {m – 5} \right){.3^x} + \left( {2m – 2} \right){.2^x}.\sqrt {{3^x}} + \left( {1 – m} \right){4^x} = 0\] , tập hợp tất cả các giá trị của tham số  m để phương trình có hai nghiệm phân biệt là khoảng (a;b) . Tính S= a+b.
A. 4            B. 5                     C. 6                        D. 8
 
Lời giải
Chọn D
Ta có \[\begin{array}{l}
\left( {m – 5} \right){.3^x} + \left( {2m – 2} \right){.2^x}.\sqrt {{3^x}} + \left( {1 – m} \right){4^x} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {m – 5} \right){\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} + \left( {2m – 2} \right){\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x} + 1 – m = 0
\end{array}\]            (1)
 
Đặt \[t = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\], điều kiện \[\left( {t > 0} \right)\]
Khi đó phương trình trở thành:  \[\left( {m – 5} \right){t^2} + \left( {2m – 2} \right)t + 1 – m = 0\]   (2)
Do đó để phương trình  (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình  (2) có hai nghiệm dương phân biệt 
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta ‘ > 0\\
P > 0\\
S > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 5\\
2\left( {{m^2} – 4m + 3} \right) > 0\\
\frac{{2 – 2m}}{{m – 5}} > 0\\
\frac{{1 – m}}{{m – 5}} > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 5\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 3\\
m < 1
\end{array} \right.\\
1 < m < 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < m < 5 \Leftrightarrow m \in \left( {3\,;\,5} \right)
\end{array}\]
 
Vậy a = 3; b = 5 nên S = 8.
 
Bài 2: Cho phương trình \[{9^x} – 2\left( {2m + 1} \right){3^x} + 3\left( {4m – 1} \right) = 0\] có hai nghiệm thực \[{x_1},\,\,{x_2}\] thỏa mãn \[\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 12\] Giá trị của m thuộc khoảng?
A. \[\left( {9;\, + \infty } \right)\]             B. \[\left( {9;\, + \infty } \right)\]
C. \[\left( { – 2;\,0} \right)\]                    D. \[\left( {1;\,3} \right)\]
 
Giải:
Đặt \[t = {3^x}\] , \[t > 0\] Phương trình đã cho trở thành:  \[{t^2} – 2\left( {2m + 1} \right)t + 3\left( {4m – 1} \right) = 0\] (1)
Phương trình đã cho có hai nghiệm thực \[{x_1},\,\,{x_2}\] khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt.
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ‘ > 0\\
S > 0\\
P > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{m^2} – 8m + 4 > 0\\
2\left( {2m + 1} \right) > 0\\
3\left( {4m – 1} \right) > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
m > – \frac{1}{2}\\
m > \frac{1}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
m > \frac{1}{4}
\end{array} \right.
\end{array}\]
Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm là \[t = 4m – 1\] và \[t = 3\]
Với \[t = 4m – 1\] thì  \[{3^{{x_1}}} = 4m – 1 \Leftrightarrow {x_1} = {\log _3}\left( {4m – 1} \right)\]
Với \[t = 3\] thì \[{3^{{x_2}}} = 3 \Leftrightarrow {x_2} = 1\]
Ta có
\[\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 12 \Leftrightarrow {x_1} = 2\] 
\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {4m – 1} \right) = 2\]
\[ \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}\]  (thỏa điều kiện).
Vậy \[m = \frac{5}{2}\] là giá trị cần tìm nên m thuộc khoảng \[\left( {1;\,3} \right)\].
 
Like share và ủng hộ chúng mình nhé:

Donate ủng hộ

Nếu thấy bài biết hay và hữu ích hãy donate cho blog nhé

Donate qua ví MOMO:

Donate qua Viettel Pay: