Cách tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, logarit

Cách tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, logarit. Tìm tập xác định của hàm số là một dạng bài điển hình trong các đề thi, kiểm tra và đề thi THPTQG. Bài viết sẽ giúp các em phân biệt được cách tìm TXĐ của 3 loại hàm số trên.

1. Tập xác định của hàm số mũ

Cho hàm số $$y=a^x\left(a>0;a\ne 1\right)$$

TXĐ của hàm số là R

Mở rộng hàm số $$y=a^{u\left(x\right)}\left(a>0;a\ne 1\right)$$ . Muốn tìm TXĐ của hàm số này, ta chỉ giải điều kiện để u(x) có nghĩa.

Ví dụ: Tìm TXĐ của hàm số $$y=e^{\sqrt{x^2+2x–3}}$$

Giải: Đk $$x^2+2x–3\ge 0\iff [\begin{array}{c}x\ge 1\hfill \\ x\le –3\hfill \end{array}$$

Vậy TXĐ là $$D=\left(–\mathrm{\infty };–3\right]\cup \left[1;+\mathrm{\infty }\right)$$

2. Tập xác định của hàm lũy thừa

Theo quy ước của sách giáo khoa giải tích 12 thì hàm số lũy thừa có tập xác định phụ thuộc vào lũy thừa. Có tất cả 3 trường hợp khác nhau về lũy thừa ảnh hưởng đến tập xác định là: Lũy thừa với số mũ nguyên dương; Lũy thừa số mũ nguyên không dương; Lũy thừa số mũ không nguyên.

Cho hàm lũy thừa $$y={\left[u\left(x\right)\right]}^{\alpha }$$

• $$\alpha \in {}^{+}$$ : Tìm đk để u(x) xác định
• $$\alpha \in {}^{–}$$ hoặc $$\alpha =0$$ thì tìm đk để u(x) xác định và u(x)#0
• $$\alpha \notin$$ thì tìm đk để u(x) xác định và u(x) > 0

Chú ý : Hàm số $$y=\sqrt{x}$$ có TXĐ là $$\left[0;+\mathrm{\infty }\right)$$ trong khi hàm số $$y=x^{\frac{1}{2}}$$ có TXĐ là $$\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$$ 

Hàm số $$y=\sqrt[3]{x}$$ có TXĐ là R còn hàm số $$y=x^{\frac{1}{3}}$$ có TXĐ là $$\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$$

Nên hàm số $$y=\sqrt{x}$$ khác hàm số $$y=x^{\frac{1}{2}}$$

3. Tập xác định của hàm số lôgarit

Cho hàm số $$y={\log }_{a}x\left(a>0;a\ne 1\right)$$

TXĐ là $$\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$$

Mở rộng hàm số $$y={\log }_{a}u\left(x\right)\left(a>0;a\ne 1\right)$$

thì điều kiện là thì điều kiện xác định là u(x)>0 và u(x) xác định.

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số $$y={\log }_3\left(2\sqrt{x}–1\right)$$

Giải: Điều kiện $$\{\begin{array}{c}2\sqrt{x}–1\hfill \\ x\ge 0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}\sqrt{x}>\frac{1}{2}\hfill \\ x\ge 0\hfill \end{array}\iff x>\frac{1}{4}$$

Vậy TXĐ $$D=\left(\frac{1}{4};+\mathrm{\infty }\right)$$