Cực trị hàm hợp, sự biến thiên của hàm hợp. Hàm hợp là một nội dung nâng cao của chương 1 giải tích 12. Những câu về hàm hợp thường nằm trong khoảng điểm từ 9 đến 10. Để giải được các bài toán về hàm hợp, đòi hỏi các bạn học sinh phải biết kết hợp thành thạo các kĩ năng như tính đạo hàm, giải phương trình, bất phương trình, phân tích đồ thị… Và để thành thạo những việc đó, các bạn cần phân loại được các loại hàm hợp mà đề bài thường cho. Việc tìm cực trị hay xét sự biến thiên đều đưa về việc lập bảng biến thiên của hàm số.
Kiến thức cần nhớ – Cực trị hàm hợp, sự biến thiên của hàm hợp
– Đạo hàm của hàm hợp:
[f(u(x))]’ = u'(x).f'(u(x))
Đề tìm lập bảng biến thiên của hàm số y = f(u(x)) ta làm như sau:
– Bước 1: Tính [f(u(x))]’
– Bước 2: Giải phương trình [f(u(x))]’ = 0 dựa vào đồ thị hay bảng biến thiên của hàm số y = f(x)
– Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số
Loại 1: Hàm hợp y = f(u(x))
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên.
Tìm số điểm cực trị của hàm số \[g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – 3} \right)\].
A. 2. B. 3 C. 4. D. 5.
Giải:
Bảng biến thiên
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu của y = f'(x) như sau
Hỏi hàm số \[g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – 2x} \right)\] có bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Giải:
Bảng biến thiên
Hàm số có 1 điểm cực tiểu
* * * * Nếu các bạn không thạo các quy tắc xét dấu, thì có thể sử dụng máy tính, dùng phím CALC bấm các giá trị đại diện của mỗi khoảng và điền dấu là chắc chắn nhất.
Loại 2: Hàm hợp y = f(u(x)) + h(x)
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số g(x) = f(x) + 3x có bao nhiểu điểm cực trị ?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 7.
Giải
Ta có g'(x) = f'(x) + 3; g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = -3.
Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y = -3.
Dựa vào đồ thị ta suy ra g'(x) = 0 <=> x = -1; x = 0; x =1 ; x = 2
Bảng biến thiên
x -vc -1 0 1 2 +vc
g'(x) – 0 + 0 – 0 + 0 +
Cách điền dấu: Lấy x = -2 => g'(-2) = f'(-2) + 3 Từ đồ thị ta thấy f'(-2) < -3 => f'(-2) + 3 < 0
Lấy x = -0,5 => g'(-0,5) = f'(-0,5) + 3 . Từ đồ thị thấy f'(-0,5) > – 3 => ‘(-0,5) + 3 > 0….
Hoặc theo quy tắc: + Khi x < – 1 thì f'(x) nằm phía dưới đường y = – 3 nên điền dấu –
Vậy hàm số có 3 điểm cực trị
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ.
Tìm số điểm cực trị của hàm số \[g\left( x \right) = 2f\left( x \right) – {x^2} + 2x + 2017\].
A. 2. B. 3. C. 4. D. 7.
Giải :
Ta có
\[g’\left( x \right) = 2f’\left( x \right) – 2x + 2\]
\[\begin{array}{l}
g’\left( x \right) = 2f’\left( x \right) – 2x + 2\\
= 2\left[ {f’\left( x \right) – \left( {x – 1} \right)} \right] \end{array}\]
g’\left( x \right) = 2f’\left( x \right) – 2x + 2\\
= 2\left[ {f’\left( x \right) – \left( {x – 1} \right)} \right] \end{array}\]
Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y = x-1 cắt đồ thị hàm số y = f'(x) tại 3 điểm: (-1;-2), (1;0), (3;2).
=> g'(x) = 0 <=> x = -1 ; x = 1 ; x = 3
Bảng biến thiên
x -vc – 1 1 3 +vc
g(x) – 0 + 0 – 0 +
Vậy hàm số có 3 cực trị.
Ví dụ 5: Cho hàm số f(x), bảng biến thiên của hàm số f'(x) như sau:
Số điểm cực trị của hàm số \[y = f\left( {4{x^2} – 4x} \right)\] là
A. 9. B. 5. C. 7. D. 3.
Giải:
Vậy phương trình y’ = 0 có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt nên hàm số có 7 điểm cực trị.
Ví dụ 6: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới.
Hàm số \[g\left( x \right) = 2f\left( x \right) + {x^2}\] đạt cực tiểu tại điểm
A. x = -1. B. x = 0.
C. x = 1. D. x = 2.
Giải:
Ta có
\[\begin{array}{l}
g’\left( x \right) = 2f’\left( x \right) + 2x\\
g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = – x
\end{array}\]
g’\left( x \right) = 2f’\left( x \right) + 2x\\
g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = – x
\end{array}\]
Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y=-x.
Suy ra g'(x) = 0 <=> x = -1 ; x = 0; x = 1; x = 2
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực tiểu tại x = 0.
Bài viết khác cùng mục: