Cách giải bất phương trình Mũ Logarit chứa tham số dùng bảng biến thiên

Xem nhiều tuần qua:

Phương pháp giải

Nội dung chính:

Đưa về cùng cơ số

+ Nếu \[a > 1\] thì \[{a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)\]

+ Nếu \[0 < a < 1\] thì \[{a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)\]

Đặt ẩn phụ.

+ Biến đổi bất phương trình sao cho thấy được cách đặt ẩn phụ.

+ Đặt ẩn phụ, tìm điều kiện cho ẩn phụ

+ Cô lập tham số, sử dụng bảng biến thiên

Lưu ý:
m>f(t) nghiệm đúng với mọi t <=> m > maxf(t)
m<f(t) nghiệm đúng với mọi t <=> m < minf(t)
m>f(t) có nghiệm <=> m>minf(t)
m<f(t) có nghiệm <=> m<maxf(t)

Sử dụng tính đơn điệu

Bất phương trình mũ chứa tham số

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m \in \left( { – 2021\,;\,2021} \right)\] để bất phương trình \[{27^x} – m{.3^{1 – x}} \le m{.3^x} – {27^{1 – x}}\] có nghiệm?

A. 2018 B. 2019 C.2020 D. 2021

Giải:

Đặt \[{3^x} = t\] điều kiện \[t > 0\]

Bất phương trình trở thành:

\[{t^3} + \frac{{27}}{{{t^3}}} \le m\left( {\frac{3}{t} + t} \right)\quad \left( * \right)\]

Do \[t > 0\] nên \[\frac{3}{t} + t > 0\] suy ra \[\left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} – 3 + \frac{9}{{{t^2}}} \le m\] (chia 2 vế)

Xét \[f\left( t \right) = {t^2} – 3 + \frac{9}{{{t^2}}}\quad \left( {t > 0} \right)\]

Với \[t > 0\] ta có \[f’\left( t \right) = 2t – \frac{{18}}{{{t^3}}}\] ; \[f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \sqrt 3 \]

Ta có bảng biến thiên

Để (*) có nghiệm thì \[m \ge \mathop {\min }\limits_{\left( {0\,;\, + \infty } \right)} f\left( t \right) = 3\]

Vậy có giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 2: Bất phương trình \[{4^x} – \left( {m + 1} \right){2^{x + 1}} + m \ge 0\] nghiệm đúng với mọi \[x \ge 0\].

Tập tất cả các giá trị của m là:

A. \[\left( { – \infty ;12} \right)\] B. \[\left( { – \infty ; – 1} \right]\]

C. \[\left( { – \infty ;0} \right]\] D. \[\left( { – 1;16} \right]\]

Giải:

\[{4^x} – \left( {m + 1} \right){2^{x + 1}} + m \ge 0,\,\,\,\forall x \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} – 2\left( {m + 1} \right){2^x} + m \ge 0\,,\,\forall x \ge 0\] (1)

Đặt \[t = {2^x},\,\,\left( {t \ge 1} \right)\] (vì \[x \ge 0\] nên \[{t \ge 1}\]

(1) trở thành \[{t^2} – 2\left( {m + 1} \right)t + m \ge 0,\,\,\forall t \ge 1\] (2)

(2) \[ \Leftrightarrow m \le \frac{{{t^2} – 2t}}{{2t – 1}}\,,\,\,\forall t \ge 1\] (3) Cô lập tham số)

Xét hàm số \[y = f\left( t \right) = \frac{{{t^2} – 2t}}{{2t – 1}}\]

Ta có hàm số y = f(t) liên tục trên \[\left[ {1; + \infty } \right)\]

\[\begin{array}{l}
f’\left( t \right) = \frac{{\left( {2t – 2} \right)\left( {2t – 1} \right) – 2\left( {{t^2} – 2t} \right)}}{{{{\left( {2t – 1} \right)}^2}}}\\
= \frac{{2{t^2} – 2t + 2}}{{{{\left( {2t – 1} \right)}^2}}} > 0\,,\,\forall t \ge 1
\end{array}\]

Bảng biến thiên