Cách giải bất phương trình Mũ Logarit chứa tham số dùng bảng biến thiên

Cách giải bất phương trình Mũ Logarit chứa tham số dùng bảng biến thiên

Phương pháp giải

Đưa về cùng cơ số 

+ Nếu \[a > 1\] thì \[{a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)\]

+ Nếu \[0 < a < 1\] thì \[{a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)\]

Đặt ẩn phụ.

+ Biến đổi bất phương trình sao cho thấy được cách đặt ẩn phụ.

+ Đặt ẩn phụ, tìm điều kiện cho ẩn phụ

+ Cô lập tham số, sử dụng bảng biến thiên

Lưu ý:
m>f(t) nghiệm đúng với mọi t <=> m > maxf(t)
m<f(t) nghiệm đúng với mọi t <=> m < minf(t)
m>f(t) có nghiệm <=> m>minf(t)
m<f(t) có nghiệm <=> m<maxf(t)

Sử dụng tính đơn điệu

Bất phương trình mũ chứa tham số

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m \in \left( { – 2021\,;\,2021} \right)\] để bất phương trình \[{27^x} – m{.3^{1 – x}} \le m{.3^x} – {27^{1 – x}}\] có nghiệm?

A. 2018             B. 2019             C.2020              D. 2021

Giải:

Đặt \[{3^x} = t\] điều kiện \[t > 0\]

Bất phương trình trở thành:

\[{t^3} + \frac{{27}}{{{t^3}}} \le m\left( {\frac{3}{t} + t} \right)\quad \left( * \right)\]

Do \[t > 0\] nên \[\frac{3}{t} + t > 0\] suy ra \[\left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} – 3 + \frac{9}{{{t^2}}} \le m\] (chia 2 vế)

Xét \[f\left( t \right) = {t^2} – 3 + \frac{9}{{{t^2}}}\quad \left( {t > 0} \right)\]

Với \[t > 0\] ta có \[f’\left( t \right) = 2t – \frac{{18}}{{{t^3}}}\] ; \[f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \sqrt 3 \]

Ta có bảng biến thiên

Để (*) có nghiệm thì \[m \ge \mathop {\min }\limits_{\left( {0\,;\, + \infty } \right)} f\left( t \right) = 3\]

Vậy có  giá trị nguyên của  thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 2: Bất phương trình \[{4^x} – \left( {m + 1} \right){2^{x + 1}} + m \ge 0\] nghiệm đúng với mọi  \[x \ge 0\].

Tập tất cả các giá trị của m là:

A. \[\left( { – \infty ;12} \right)\]         B. \[\left( { – \infty ; – 1} \right]\]

C. \[\left( { – \infty ;0} \right]\]           D. \[\left( { – 1;16} \right]\]

Giải:

\[{4^x} – \left( {m + 1} \right){2^{x + 1}} + m \ge 0,\,\,\,\forall x \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} – 2\left( {m + 1} \right){2^x} + m \ge 0\,,\,\forall x \ge 0\] (1)

Đặt \[t = {2^x},\,\,\left( {t \ge 1} \right)\] (vì \[x \ge 0\] nên \[{t \ge 1}\]

(1) trở thành \[{t^2} – 2\left( {m + 1} \right)t + m \ge 0,\,\,\forall t \ge 1\] (2)

(2) \[ \Leftrightarrow m \le \frac{{{t^2} – 2t}}{{2t – 1}}\,,\,\,\forall t \ge 1\] (3) Cô lập tham số)

Xét hàm số \[y = f\left( t \right) = \frac{{{t^2} – 2t}}{{2t – 1}}\]

Ta có hàm số y = f(t) liên tục trên \[\left[ {1; + \infty } \right)\]

\[\begin{array}{l}
f’\left( t \right) = \frac{{\left( {2t – 2} \right)\left( {2t – 1} \right) – 2\left( {{t^2} – 2t} \right)}}{{{{\left( {2t – 1} \right)}^2}}}\\
= \frac{{2{t^2} – 2t + 2}}{{{{\left( {2t – 1} \right)}^2}}} > 0\,,\,\forall t \ge 1
\end{array}\]

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có \[f\left( t \right) \ge m\,\,\,\,\forall t \in \left[ {1; + \infty } \right)\] \[ \Leftrightarrow m \le – 1\]

Xem thêm Tìm m để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn 

Bất phương trình Mũ Logarit chứa tham số dùng bảng biến thiên