Các dạng toán về xét tính đơn điệu của hàm số cơ bản đến nâng cao
1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.
Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.
Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)
Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm xo sao cho f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) không xác định.
Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận
Dạng 2: Từ bảng biến thiên, từ đồ thị hàm y =f(x) số đọc khoảng đơn điệu
Dạng 3: Từ bảng xét dấu, đồ thị của y’ đọc khoảng đơn điệu
+ Nếu từ bảng xét dấu của y’ thì đọc khoảng đơn điệu như sau:
– Trên những khoảng y’ mang dấu + thì hàm đồng biến
– Hàm nghịch biến trên những khoảng y’ mang dấu –
– Trên những khoảng y’ mang dấu + thì hàm đồng biến
– Hàm nghịch biến trên những khoảng y’ mang dấu –
+ Nếu bài cho đồ thị của y’ thì từ đồ thị đó lập lại thành bảng xét dấu và đưa về dạng trên
Các bạn làm như vậy nhiều lần sẽ quen, những bài sau chỉ cần nhìn đồ thị là đọc được không cần lập lại bảng biến thiên.
Các bạn làm như vậy nhiều lần sẽ quen, những bài sau chỉ cần nhìn đồ thị là đọc được không cần lập lại bảng biến thiên.
Lập bảng biến thiên theo quy tắc sau:
– Những vị trí mà đồ thị cắt trục Ox là những điểm y’ = 0
– Những khoảng mà phần đồ thị ở phía trên trục Ox thì y’ dương
– Những khoảng mà phần đồ thị ở phía dưới trục Ox thì y’ âm
– Những vị trí mà đồ thị cắt trục Ox là những điểm y’ = 0
– Những khoảng mà phần đồ thị ở phía trên trục Ox thì y’ dương
– Những khoảng mà phần đồ thị ở phía dưới trục Ox thì y’ âm
Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước
Bài toán 1: TÌm m để hàm phân thức đơn điệu trên các khoảng xác định
(y = ax + b/cx + d và y = atanx + b/ctanx + d)
Bài toán 2: Tìm m để hàm phân thức đơn điệu trên khoảng cho trước
Bài toán 3: Tìm m để hàm bậc 3 đơn điệu trên R, trên khoảng cho trước
Dạng 5: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài cho trước
Bài tập hàm số đơn điệu
Bài viết khác cùng mục: