Các dạng bài tập tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác

Các dạng bài tập tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác. Bài viết tổng hợp các dạng bài tập về GTLN và GTNN của hàm số lượng giác từ cơ bản đến nâng cao, kèm theo ví dụ cụ thể để các em học sinh dễ dàng ôn tập.

1. Tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác đơn giản

Phương pháp: Biến đổi hàm số về một hàm lượng giác duy nhất và sử dụng các kết quả có sẵn sau:

$$\eqalign{
& – 1 \le \sin f\left( x \right) \le 1; – 1 \le \cos f\left( x \right) \le 1 \cr
& 0 \le \left| {\sin f\left( x \right)} \right| \le 1;0 \le \left| {\cos f\left( x \right)} \right| \le 1 \cr
& 0 \le {\sin ^2}f\left( x \right) \le 1;0 \le {\cos ^2}f\left( x \right) \le 1 \cr} $$

Từ đó biến đổi thêm để được hàm số mong muốn.

Một số biến đổi cơ bản đưa hàm số về 1 hàm lượng giác duy nhất

$$\sin x + \cos x = \cos \left( {{\pi \over 2} – x} \right) + \cos x = 2\cos \left( {{\pi \over 4}} \right).\cos \left( {{\pi \over 4} – x} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {{\pi \over 4} – x} \right)$$

$$a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {{a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right)$$

$$ = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\cos \alpha .\sin x + \sin \alpha \cos x} \right)$$

$$ = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right)$$

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $$y = \sqrt 3 \cos x – \sin x$$

Giải: $$a = \sqrt 3 ;b = 1 \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 2$$

$$y = 2\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}\cos x – {1 \over 2}\sin x} \right) = 2\left( {\sin {\pi \over 3}\cos x – \cos {\pi \over 3}\sin x} \right)$$$$ = 2\sin \left( {{\pi \over 3} – x} \right)$$

Ta có $$ – 1 \le \sin \left( {{\pi \over 3} – x} \right) \le 1$$ $$ \Rightarrow – 2 \le 2\sin \left( {{\pi \over 3} – x} \right) \le 2 \Rightarrow – 2 \le y \le 2$$

$$y = – 2 \Leftrightarrow \sin \left( {{\pi \over 3} – x} \right) = – 1 \Leftrightarrow {\pi \over 3} – x = – {\pi \over 2} + k2\pi \Leftrightarrow x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi $$

$$y = 2 \Leftrightarrow \sin \left( {{\pi \over 3} – x} \right) = 1 \Leftrightarrow {\pi \over 3} – x = {\pi \over 2} + k2\pi \Leftrightarrow x = {{ – \pi } \over 6} + k2\pi $$

Ngoài ra ta còn sử dụng các công thức lượng giác để đưa về 1 hàm số lượng giác: Nhân đôi; hạ bậc; tích thành tổng; tổng thành tích; công thức cộng…

2. Sử dụng bảng biến thiên của hàm số để tìm GTLN và GTNN của hàm lượng giác

Khi hàm số lượng giác khá phức tạp, không thể sử dụng các kết quả có sẵn trên, ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Từ đó ta được một hàm đa thức và sử dụng bảng biến thiên để tìm GTLN và GTNN

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $$y = {\sin ^2}x + 2\cos 2x + \cos x – 1$$

Giải: Biến đổi hàm số :

$$y = 1 – {\cos ^2}x + 2\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right) + \cos x – 2 = 3{\cos ^2}x + \cos x – 2$$

Đặt $$t = \cos x$$ với $${ – 1 \le t \le 1}$$

Ta được hàm số $$y = 3{t^2} + t – 2{\rm{ }}\left( { – 1 \le t \le 1} \right)$$

Lập bảng biến thiên của hàm số trên [-1; 1]

Từ bảng biến thiên ta được 

$$Miny = {{ – 25} \over {12}}$$ ; dấu bằng xảy ra khi $$t = {{ – 1} \over 6} \Rightarrow \cos x = {{ – 1} \over 6}$$

$$Maxy = 2$$ ; dấu bằng xảy ra khi $$t = 1 \Rightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in } \right)$$.

3. Tìm GTLN và GTNN của hàm lượng giác trên [a;b] cho trước

Phương pháp: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

• Với x thuộc [a; b] cho trước, tìm tập giá trị của t tương ứng
• Sử dụng phương pháp hàm số (bảng biến thiên trên đoạn) để tìm GTLN và GTNN.

Xem thêm Phiếu bài tập trắc nghiệm GTLN GTNN của hàm lượng giác (word) có đáp án