Cho đồ thị của hàm y’, cách xác định GTLN GTNN của hàm hợp

Cho đồ thị của hàm y’, cách xác định GTLN GTNN của hàm hợp

Phương pháp giải GTLN GTNN của hàm hợp

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm xi 

Bước 3: Tính các f(xi), so sánh và tìm ra GTLN, GTNN

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm y = f'(x) như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số \[y = g\left( x \right) = f\left( {2x} \right) – 4x\] trên \[\left[ { – \frac{3}{2};2} \right]\] bằng:

A. \[f\left( 0 \right)\]          B. \[f\left( { – 3} \right) + 6\]             C. \[f\left( 2 \right) – 4\]        D. \[f\left( 4 \right) – 8\]

Giải:

Ta có \[g’\left( x \right) = 2f’\left( {2x} \right) – 4\]. 

Nghiệm của phương trình g'(x) = 0 là số giao điểm của đồ thị f'(x) và đường thẳng y = 2
Vẽ đường thẳng y = 2 ta được:

\[\begin{array}{l}
g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2f’\left( {2x} \right) – 4 = 0\\
\Leftrightarrow f’\left( {2x} \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = {x_1} < – 3\\
2x = 0\\
2x = 2\\
2x = {x_2} > 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{{x_1}}}{2} < – \frac{3}{2}\\
x = 0\\
x = 1\\
x = \frac{{{x_1}}}{2} > 2
\end{array} \right.
\end{array}\]

Ta có bảng biến thiên:

(Điền dấu vào bảng này ta dựa vào vị trí của đồ thị y = f'(x) với đường cong vừa vẽ, nếu f'(x) ở trên thì là dấu dương)

Vậy \[\mathop {\max g(x)}\limits_{\left[ { – \frac{3}{2};1} \right]} = f\left( 2 \right) – 4\]

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm y = f'(x) như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[g\left( x \right) = f\left( x \right) + \frac{1}{3}{x^3} – x\] trên [-1; 2] bằng:

A. \[f\left( 2 \right) + \frac{2}{3}\]        B. \[f\left( { – 1} \right) + \frac{2}{3}\]       C. \[\frac{2}{3}\]        D. \[f\left( 1 \right) – \frac{2}{3}\]

Giải:

Ta có \[\begin{array}{l}
g’\left( x \right) = f’\left( x \right) + {x^2} – 1\\
g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) + {x^2} – 1 = 0\\
\Leftrightarrow f’\left( x \right) = – {x^2} + 1
\end{array}\]

Nghiệm của phương trình này là giao đểm của đồ thị hàm số y = f'(x) và đường cong \[y = – {x^2} + 1\]

Vẽ đường cong \[y = – {x^2} + 1\]:

Từ đồ thị ta được: \[f’\left( x \right) = – {x^2} + 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\]

Bảng biến thiên

(Điền dấu vào bảng này ta dựa vào vị trí của đồ thị y = f'(x) với đường cong vừa vẽ, nếu f'(x) ở trên thì là dấu dương)

Vậy \[\mathop {\min g\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} = g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) – \frac{2}{3}\]

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm y = f'(x) như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = g\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} – x – f\left( x \right) + 2020\] trên \[\left[ { – \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]\] là:

A. \[f\left( {\sqrt 3 } \right) + f\left( { – \sqrt 3 } \right)\]                         B. \[f\left( {\sqrt 3 } \right) – f\left( { – \sqrt 3 } \right)\]

C. \[2020 + f\left( { – \sqrt 3 } \right)\]                          D. \[4040 – f\left( {\sqrt 3 } \right) – f\left( { – \sqrt 3 } \right)\]

Giải:

Ta có : \[g'(x) = {x^2} – 1 – f’\left( x \right)\]

\[\begin{array}{l}
g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 1 – f’\left( x \right) = 0\\
\Leftrightarrow f’\left( x \right) = {x^2} – 1
\end{array}\]

Nghiệm của phương trình này là giao đểm của đồ thị hàm số y = f'(x) với đường cong \[y = {x^2} – 1\]

Vẽ đường cong \[y = {x^2} – 1\] ta được:

Từ đây ta được \[f’\left( x \right) = {x^2} – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm \sqrt 3
\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên của g(x)

Ta thấy đường cong \[y = {x^2} – 1\] luôn nằm phía trên của đồ thị f'(x) nên ta được bảng:

Vậy:

\[\begin{array}{l}
M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]} g\left( x \right) = g\left( {\sqrt 3 } \right)\\
{\rm{ }} = – f\left( {\sqrt 3 } \right) + 2020\\
m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]} g\left( x \right) = g\left( { – \sqrt 3 } \right)\\
{\rm{ }} = – f\left( { – \sqrt 3 } \right) + 2020\\
M + m = – f\left( {\sqrt 3 } \right) – f\left( { – \sqrt 3 } \right) + 4040
\end{array}\]

Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm y = f'(x) như hình vẽ. Hàm số \[g\left( x \right) = 2f\left( x \right) + {\left( {1 – x} \right)^2}\] đạt giá trị nhỏ nhất trên [-4; 3] tại điểm:

A. \[{x_0} = – 1\]             B. \[{x_0} = 3\]               C. \[{x_0} = – 4\]                D. \[{x_0} = – 3\]

Giải:

Ta có 

\[\begin{array}{l}
g’\left( x \right) = 2f’\left( x \right) – 2\left( {1 – x} \right)\\
= 2\left[ {f’\left( x \right) – \left( {1 – x} \right)} \right] \end{array}\]

(Chú ý : Vì bài cho đồ thị hàm f’ nên khi tính g'(x) ta phải đưa về dạng f'(x) – … hoặc … – f'(x) )

\[g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 1 – x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 4\\
x = – 1\\
x = 3
\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên

Vậy hàm số g(x) đạt GTNN tại x = -1

Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm y = f'(x) như hình vẽ. Gọi \[g\left( x \right) = f\left( x \right) – \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + x – 2019\] có \[g\left( { – 1} \right) + g\left( 1 \right) > g\left( 0 \right) + g\left( 2 \right)\]. Khi đó hàm số  = g(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên [-1;2] bằng:

A. \[g\left( 2 \right)\]                 B. \[g\left( 1 \right)\]                 C. \[g\left( { – 1} \right)\]              D. \[g\left( 0 \right)\]

Giải:

Ta có 

\[\begin{array}{l}
g’\left( x \right) = f’\left( x \right) – {x^2} + x + 1\\
{\rm{ }} = f’\left( x \right) – \left( {{x^2} – x – 1} \right)
\end{array}\]

\[g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = {x^2} – x – 1\]

Vẽ đường cong \[y = {x^2} – x – 1\]

Từ đây ta được \[f’\left( x \right) = {x^2} – x – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 1\\
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên

Cần phải so sánh g(-1) và g(2) để xem đâu là giá trị nhỏ nhất, muốn vậy ta phả xét g(-1) – g(2)

\[g\left( { – 1} \right) + g\left( 1 \right) > g\left( 0 \right) + g\left( 2 \right)\]

\[ \Leftrightarrow g\left( { – 1} \right) – g\left( 2 \right) > g\left( 0 \right) – g\left( 1 \right)\]

\[ \Rightarrow g\left( { – 1} \right) – g\left( 2 \right) > 0\]   (vì \[g\left( 0 \right) > g\left( 1 \right)\])

\[ \Leftrightarrow g\left( { – 1} \right) > g\left( 2 \right)\]

Vậy \[\mathop {\min g\left( x \right) = g\left( 2 \right)}\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} \]

Ví dụ 6: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm y = f'(x) như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \[\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} = f\left( { – 2} \right)\]

B. \[\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} = f\left( 2 \right)\]

C. \[\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} = f\left( 6 \right)\]

D. \[\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} = f\left( { – 1} \right)\]

Giải: 

Từ đồ thị của f'(x) ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau:

Để tìm được GTLN ta phải so sánh f(-1) và f(6)

Sử dụng tích phân và công thức diện tích hình phẳng

\[\begin{array}{l}
{S_1} = \int\limits_{ – 1}^2 {f’\left( x \right)dx = f\left( { – 1} \right) – f\left( 2 \right)} \\
{S_2} = \int\limits_2^6 {f’} \left( x \right)dx = f\left( 6 \right) – f\left( 2 \right)
\end{array}\]

Từ hình vẽ 

\[\begin{array}{l}
{S_1} < {S_2} \Rightarrow f\left( { – 1} \right) – f\left( 2 \right) < f\left( 6 \right) – f\left( 2 \right)\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow f\left( { – 1} \right) < f\left( 6 \right)
\end{array}\]

Vậy \[\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} = f\left( 6 \right)\]

Xem thêm Tìm m để hàm số có GTLN GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước.

Tải bài tập tương tự GTLN GTNN của hàm hợp