Biến đổi biểu thức Logarit. Cách biến đổi đẳng thức cho trước thành đẳng thức Logarit dễ hiểu.
Phương pháp Biến đổi biểu thức Logarit – Công thức logarit
Từ đẳng thức đã cho thêm bớt thích hợp để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc hiệu. Sau đó, lấy loga 2 vế ( lựa chọn cơ số thích hợp- dựa vào đáp án) …,đồng thời áp dụng các tính chất của logarit..
Bài tập Biến đổi biểu thức Logarit
Ví dụ 1: Cho \[a > 0;{\rm{ }}b > 0\] thỏa mãn điều kiện \[{a^2} + {b^2} = 7ab\]. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. \[3\log \left( {a + b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right)\]
B. \[\log \left( {a + b} \right) = \frac{3}{2}\left( {\log a + \log b} \right)\]
C. \[2\left( {\log a + \log b} \right) = \log \left( {7ab} \right)\]
D. \[\log \frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right)\]
Giải:
\[{a^2} + {b^2} = 7ab \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 9ab\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{a + b}}{3}} \right)^2} = ab\]
Lấy Log 2 vế ta được:
\[2.\log \frac{{a + b}}{3} = \log ab\]
\[ \Leftrightarrow 2.\log \frac{{a + b}}{3} = \log a + \log b\]
\[ \Leftrightarrow \log \frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right)\]
Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn \[{x^2} + 9{y^2} = 6xy\]. Khi đó biểu thức \[M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}\] có giá trị bằng:
A. \[M = \frac{1}{4}\] B. \[M = 1\]
C. \[M = \frac{1}{2}\] D. \[M = \frac{1}{3}\]
Giải:
\[{x^2} + 9{y^2} = 6xy \Leftrightarrow {x^2} – 6xy + 9{y^2} = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {x – 3y} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3y\]
Khi đó:
\[M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}\]
\[ = \frac{{{{\log }_{12}}12 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}\]
\[ = \frac{{{{\log }_{12}}12xy}}{{{{\log }_{12}}{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}}\] thay x = 3y
\[ = \frac{{{{\log }_{12}}36{y^2}}}{{{{\log }_{12}}36{y^2}}} = 1\]
Ví dụ 3: Cho a, b là hai số thực dương khác 1 thỏa mãn \[{\log _{{a^2}}}b + {\log _{{b^2}}}a = 1\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \[a = \frac{1}{b}\] B. \[a = b\]
C. \[a = \frac{1}{{{b^2}}}\] D. \[a = {b^2}\]
Giải:
\[\begin{array}{l}
{\log _{{a^2}}}b + {\log _{{b^2}}}a = 1\\
\Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _a}b + \frac{1}{2}{\log _b}a = 1\\
\Leftrightarrow {\log _a}b + {\log _b}a = 2\\
\Leftrightarrow {\log _a}b + \frac{1}{{{{\log }_a}b}} = 2\\
\Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} + 1 = 2{\log _a}b\\
\Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}b – 1} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow {\log _a}b = 1\\
\Leftrightarrow a = b
\end{array}\]
Ví dụ 4: Cho các số dương a, b thỏa mãn \[4{a^2} + 9{b^2} = 13ab\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \[\log \sqrt {2a + 3b} = \log \sqrt a + 2\log \sqrt b \]
B. \[\frac{1}{4}\log \left( {2a + 3b} \right) = 3\log a + 2\log b\]
C. \[\log \left( {\frac{{2a + 3b}}{5}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right)\]
D. \[\log \left( {\frac{{2a + 3b}}{4}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right)\]
Giải:
\[\begin{array}{l}
4{a^2} + 9{b^2} = 13ab\\
\Leftrightarrow 4{a^2} + 12ab + 9{b^2} = 25ab\\
\Leftrightarrow {\left( {2a + 3b} \right)^2} = 25ab\\
\Leftrightarrow \frac{{2a + 3b}}{5} = \sqrt {ab}
\end{array}\]
Lấy log 2 vế ta được:
\[\begin{array}{l}
\log \left( {\frac{{2a + 3b}}{5}} \right) = \log \sqrt {ab} \\
\Leftrightarrow \log \left( {\frac{{2a + 3b}}{5}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right)
\end{array}\]
Ví dụ 5: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \[{x^2} + 4{y^2} = 12xy\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \[{\log _2}\left( {\frac{{x + 2y}}{4}} \right) = {\log _2}x – {\log _2}y\]
B. \[{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = 2 + \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_2}y} \right)\]
C. \[{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y + 1\]
D. \[4{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y\]
Giải:
\[\begin{array}{l}
{x^2} + 4{y^2} = 12xy\\
\Leftrightarrow {x^2} + 4xy + 4{y^2} = 16xy\\
\Leftrightarrow {\left( {x + 2y} \right)^2} = 16xy\\
\Leftrightarrow {\log _2}{\left( {x + 2y} \right)^2} = {\log _2}16xy\\
\Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = {\log _2}16 + {\log _2}x + {\log _2}y\\
\Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = 4 + {\log _2}x + {\log _2}y\\
\Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2y} \right) = 2 + \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_2}y} \right)
\end{array}\]
Ví dụ 6: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} = 14ab\]. mệnh đề nào sau đây sai?
A. \[\ln \frac{{a + b}}{4} = \frac{{\ln a + \ln b}}{2}\]
B. \[2{\log _2}\left( {a + b} \right) = 4 + {\log _2}a + {\log _2}b\]
C. \[2{\log _4}\left( {a + b} \right) = 4 + {\log _4}a + {\log _4}b\]
D. \[2\log \frac{{a + b}}{4} = \log a + \log b\]
Giải:
\[\begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 14ab\\
\Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} = 16ab\\
\Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 16ab{\rm{ (1)}}\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{{a + b}}{4}} \right)^2} = ab{\rm{ (2)}}
\end{array}\]
Lấy ln 2 vế của (2) ta được:
\[\begin{array}{l}
\ln {\left( {\frac{{a + b}}{4}} \right)^2} = \ln ab \Leftrightarrow 2\ln \frac{{a + b}}{4} = \ln ab\\
\Leftrightarrow \ln \frac{{a + b}}{4} = \frac{1}{2}\ln ab \Leftrightarrow \ln \frac{{a + b}}{4} = \ln \sqrt {ab}
\end{array}\]. Vậy A đúng
Lấy \[{\log _2}\] 2 vế của (1) ta được:
\[\begin{array}{l}
{\log _2}{\left( {a + b} \right)^2} = {\log _2}16ab\\
\Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {a + b} \right) = {\log _2}16 + {\log _2}a + {\log _2}b\\
\Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {a + b} \right) = 4 + {\log _2}a + {\log _2}b
\end{array}\]. Vậy B đúng
Lấy \[{\log _4}\] 2 vế của (1) ta được:
\[\begin{array}{l}
{\log _4}{\left( {a + b} \right)^2} = {\log _4}16ab\\
\Leftrightarrow 2{\log _4}\left( {a + b} \right) = {\log _4}16 + {\log _4}a + {\log _4}b\\
\Leftrightarrow 2{\log _4}\left( {a + b} \right) = 2 + {\log _4}a + {\log _4}b
\end{array}\]. Vậy C sai
Lấy log 2 vế của (2) ta được:
\[\begin{array}{l}
\log {\left( {\frac{{a + b}}{4}} \right)^2} = \log ab\\
\Leftrightarrow 2\log \frac{{a + b}}{4} = \log a + \log b
\end{array}\]. Vậy D đúng
Xem thêm Cho đồ thị của hàm y’, cách xác định GTLN GTNN của hàm hợp
Giải trắc nghiệm Logarit bằng máy tính Casio
Bài viết khác cùng mục: