Phương pháp hàm số giải phương trình Mũ Logarit thi THPTQG

Xem nhiều tuần qua:

Giải phương trình Mũ Logarit bằng phương pháp hàm số thi THPTQG

Nội dung chính:

Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số – Phương trình mũ logarit cơ bản

$\begin{array}{l} 0 < a \neq 1 \\ a^{f (x)} = a^{g (x)} \Leftrightarrow f (x) = g (x) \\ a^{f (x)} = b \Leftrightarrow f (x) = \log_{a} b \\ \log_{a} f (x) = \log_{a} g (x) \Leftrightarrow {\begin{matrix} f (x) = g (x) \\ f (x) > 0 \end{matrix} \\ \log_{a} f (x) = b \Leftrightarrow {\begin{matrix} f (x) = a^{b} \\ f (x) > 0 \end{matrix} \end{array}$

Phương pháp 2: Logarit hóa phương trình mũ

(với những bài không đưa về cùng cơ số được)

$\begin{array}{l} a^{f (x)} = b^{g (x)} \\ \Leftrightarrow \log_{a} a^{f (x)} = \log_{a} b^{g (x)} \\ \Leftrightarrow f (x) = g (x) . \log_{a} b \end{array}$

(Lấy logarit cơ số a hoặc b của 2 vế)

Ví dụ 1: Giải phương trình $2^{x^{2} - 4} = 7^{x - 2}$

Giải:

Lấy logarit cơ số 2 cả 2 vế ta được:

$\begin{array}{l} \log_{2} 2^{x^{2} - 4} = \log_{2} 7^{x - 2} \\ \Leftrightarrow x^{2} - 4 = (x - 2) \log_{2} 7 \\ \Leftrightarrow (x - 2) (x + 2 - \log_{2} 7) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x - 2 = 0 \\ x + 2 - \log_{2} 7 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 2 \\ x = \log_{2} 7 - 2 \end{matrix} \end{array}$

Ví dụ 2: Giải phương trình $8^{x} {.5}^{x^{2} - 1} = 2^{- 3}$

Giải:

Lấy logarit cơ số 8 cả 2 vế ta được:

$\begin{array}{l} \log_{8} 8^{x} {.5}^{x^{2} - 1} = \log_{8} \frac{1}{8} \\ \Leftrightarrow \log_{8} 8^{x} + \log_{8} 5^{x^{2} - 1} = \log_{8} 8^{- 1} \\ \Leftrightarrow x + (x^{2} - 1) \log_{8} 5 = - 1 \\ \Leftrightarrow x + 1 + (x^{2} - 1) \log_{8} 5 = 0 \\ \Leftrightarrow (x + 1) [1 + (x - 1) \log_{8} 5] = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 1 \\ x \log_{8} 5 = \log_{8} 5 - 1 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 1 \\ x = \frac{\log_{8} 5 - 1}{\log_{8} 5} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 - \log_{5} 8 \end{matrix} \end{array}$

Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ

Loại 1: Phương trình dạng $m . a^{2 f (x)} + n . a^{f (x)} + p = 0$

Đặt $t = a^{f (x)} (t > 0)$

Ta được phương trình : $m t^{2} + n t + p = 0$

Loại 2: Phương trình dạng $m . a^{f (x)} + n . b^{f (x)} + p = 0$ với $a . b = 1$

Đặt $t = a^{f (x)} (t > 0)$ $\Rightarrow b^{f (x)} = \frac{1}{t}$

Loại 3: Phương trình dạng $m . a^{2 f (x)} + n . (a . b^{f (x)}) + p . b^{2 f (x)} = 0$

Chia 2 vế cho $b^{2 f (x)}$

Đặt $t = {(\frac{a}{b})}^{f (x)} (t > 0)$

Ta được phương trình : $m t^{2} + n t + p = 0$

Phương pháp 4: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Ví dụ 1: Giải phương trình ${3.4}^{x} + (3 x - 10) 2^{x} + 3 - x = 0$

Giải:

Đặt $t = 2^{x} (t > 0)$

Ta được phương trình: $3 t^{2} + (3 x - 10) t + 3 - x = 0$

Có $Δ = {(3 x - 10)}^{2} - 12 (3 - x) = {(3 x - 8)}^{2}$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{1}{3} \\ t = - x + 3 \end{array}$

Với $t = \frac{1}{3} \Rightarrow 2^{x} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = - \log_{2} 3$

Với $\begin{array}{l} t = - x + 3 \Rightarrow 2^{x} + x = 3 \\ \Leftrightarrow x = 1 \end{array}$ ( Do vế trái là hàm đồng biến, vế phải không đổi nên có tối đa 1 nghiệm, nhẩm được x = 1)

Phương pháp 5: Giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số

Cách 1 – Phương pháp đánh giá hàm số

• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x)=k.

• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D. Khẳng định hàm số đơn điệu

• Bước 3. Nhẩm nghiệm

x = x_{0}

• Bước 4. Kết luận vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Cách 2

• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x) = g(x).

• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) và y = g(x). Khẳng định hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến còn y = g(x) là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng.

• Bước 3. Nhẩm nghiệm

x = x_{0}

• Bước 4. Kết luận vậy

x = x_{0}

là nghiệm duy nhất của phương trình.

Cách 3

• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(u) = f(v).

• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x). Khẳng định hàm số đơn điệu.

• Bước 3. Khi đó f(u) = f(v) ⇔ u = v.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình: $4^{x} + 5^{x} = 9$

Giải:

+ Nhẩm được x = 1 là nghiệm của phương trình

+ Chứng minh đó là nghiệm duy nhất:

Xét hàm số

f (x) = 4^{x} + 5^{x}

Có

f^{'} (x) = 4^{x} . \ln 4 + 5^{x} . \ln 5 > 0 \forall x \in

=> Hàm số đồng biến trên R

Vế phải là hằng số nên phương trình có tối đa 1 nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình $x + \sqrt{x^{2} + 1} = 5^{x}$

Giải :

Lấy ln hai vế ta được :

\begin{array}{l} \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = \ln 5^{x} \\ \Leftrightarrow \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) - x . \ln 5 = 0 \end{array}

Xét hàm số

f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) - x . \ln 5

Có

f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \ln 5 < 0

(vì

\begin{array}{l} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} < 1; \ln 5 > 1 \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} < \ln 5 \end{array}

)

+ Nhẩm được x = 0 là nghiệm, vậy đó là nghiệm duy nhất.

Ví dụ 3: Giải phương trình $3. x^{\log_{3} x} + {(\log_{3} x - 1)}^{2} = x^{2}$

Giải:

Đặt

t = \log_{3} x \Leftrightarrow x = 3^{t}

Ta được phương trình:

\begin{array}{l} 3. {(3^{t})}^{t} + {(t - 1)}^{2} = 3^{2 t} \\ \Leftrightarrow 3^{t^{2} + 1} + t^{2} + 1 = 3^{2 t} + 2 t (1) \end{array}

Xét hàm số

f (u) = 3^{u} + u

Có

f^{'} (u) = 3^{u} \ln 3 + 1 > 0 \forall u \in

=>Hàm số đồng biến trên R, khi đó:

\begin{array}{l} (1) \Leftrightarrow f (t^{2} + 1) = f (2 t) \\ \Leftrightarrow t^{2} + 1 = 2 t \\ \Leftrightarrow t = 1 \\ \Rightarrow \log_{3} x = 1 \Leftrightarrow x = 3 \end{array}

Phiếu Bài tập phương trình mũ Logarit

Download [98.63 KB]

Vui lòng share bài lên Facebook để tải

Xem thêm Cách giải bất phương trình Mũ Logarit chứa tham số dùng bảng biến thiên

Like share và ủng hộ chúng mình nhé:

Xem nhiều tuần qua:

Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số – Phương trình mũ logarit cơ bản

Phương pháp 2: Logarit hóa phương trình mũ

Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ

Phương pháp 4: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Phương pháp 5: Giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số

Cách 1 – Phương pháp đánh giá hàm số

Cách 2

Cách 3

Ví dụ minh họa

Phiếu Bài tập phương trình mũ Logarit

Bài viết khác cùng mục: