Cách tách hạng tử khi phân tích đa thức đầy đủ nhất

Xem nhiều tuần qua:

Đây là bài viết số [part not set] trong 36 bài viết của loạt series Toán 8

Cách tách hạng tử khi phân tích đa thức đầy đủ nhất. Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những dạng toán khá quan trọng nằm trong chương trình Toán 8. Có nhiều phương pháp được nêu trong sách giáo khoa để phân tích đa thức. Một trong những cách đó gây không ít khó khăn cho các em học sinh đó là phương pháp tách hạng tử. Bài viết chia sẻ một số phương pháp tách đơn giản, dễ hiểu, các em cùng theo dõi.

Nội dung chính:

Mục đích của phương pháp tách hạng tử

Khi gặp một đa thức mà các phương pháp như đặt nhân tử chung, nhóm, hằng đẳng thức đều không áp dụng được, thì ta nghĩ đến việc tách hạng tử. Khi đó mục đích của việc tách là để sử dụng được các phương pháp trên. Tức là tách để có thể nhóm lại mà nhóm đó có nhân tử chung hoặc nhóm đó là hằng đẳng thức.

Thông thường những bài tách hạng tử hay rơi vào các bài đa thức có bậc 2.

Ví dụ:

Rõ ràng cùng một đa thức, nhưng có hai cách tách khác nhau cho ra cùng kết quả.

Giải quyết vấn đề:

– Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành tích của những đa thức.

– Một số phương pháp cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử:

1- Phương pháp đặt nhân tử chung: Nhân tử chung của một đa thức (nếu có) gồm hệ số và

phần biến, hệ số là ƯCLN của các hệ số trong các hạng tử của đa thức và phần biến là tất cả

các biến trong các hạng tử của đa thức với số mũ nhỏ nhất của nó.

2- Phương pháp dùng hằng đẳng thức: Vận dụng các hằng đẳng thức đã học để phân tích đa

thức thành nhân tử.

3- Phương pháp nhóm hạng tử: Vận dụng tính chất giao hoán và kết hợp, nhóm các hạng tử

thích hợp để xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện dạng của hằng đẳng thức, từ đó phân

tích thành nhân tử.

4- Phối hợp các phương pháp: Để phân tích một đa thức thành nhân tử, trong nhiều trường

hợp ta phải phối hợp các phương pháp một cách linh hoạt: đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử,

dùng hằng đẳng thức.

5- Phương pháp tách hạng tử:

– Ta có thể tách một hạng tử nào đó của một đa thức thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp

để xuất hiện những hạng tử có nhân tử chung hoặc có dạng của hằng đẳng thức.

– Đối với những đa thức có dạng một tam thức bậc hai ax² + bx + c, ta có thể có nhiều cách

để tách hạng tử, chẳng hạn như tách bx thành b₁x + b₂x sao cho b₁+b₂= b và b₁.b₂= a.c

Phương pháp tách hạng tử truyền thống

Phương pháp tách hạng tử nâng cao

Download [19.39 KB]

Cách tách hạng tử trên máy tính fx 580vn PLUS

Sử dụng chức năng MODE 5 3 trên máy tính, nhập các hệ số của đa thức để bấm ra nghiệm. Với cách này học sinh phải thật cẩn thận nếu không sẽ nhầm các dấu của hệ số.

Bước 1:

Bật ON để mở máy

Bước 2:

Bấm MODE SETUP

Bước 3:

Nhấn số 5

Bước 4:

Nhấn số 3

Bước 5:

Nhập số vào các ô, sau ki nhập 1 số thì bấm $=$ để chuyển qua ô khác

Bước 6:

Sau khi nhập số vào 3 ô, bấm =

Bước 7:

Đổi dấu các số.

Sơ đồ tư duy tham khảo:

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử có lời giải.

Để phân tích một đa thức thành nhân tử chúng ta thường sử dụng các cách sau:

– Đặt nhân tử chung.

– Dùng hằng đẳng thức.

– Nhóm nhiều hạng tử.

– Tách (hoặc thêm bớt) hạng tử.

– Phương pháp đổi biến (Đặt ẩn phụ).

– Phương pháp nhẩm nghiệm của đa thức.

Cách phân tích đa thức thành nhân tử

Các cách phân tích đa thức thành nhân tử được nêu ra ở trên áp dụng như sau:

1. Phân tích đa thức dạng ax² + bx + c

Muốn phân tích đa thức ax² + bx + c thành nhân tử. Ta tách hạng tử bx thành b₁x + b₂x như sau:

+ Bước 1: Tìm tích ac.

+ Bước 2: Biến đổi ac thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách.

+ Bước 3: Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b ⇔ Hai thừa số đó chính là b₁; b₂ .

Ví dụ 1: Phân tích đa thức: 11 – 12x + x² thành nhân tử

Hướng dẫn giải:

Ta nhẩm trong đầu: ac = 11, a + c = -12 ⇒ b₁ = -11, b₂ = -1 từ đó tách đa thức đã cho như sau:

11 – 12x + x² = x – 11x – x + 11 = x(x-11) – (x-11) = (x-11)(x-11)= (x-11)²

2. Phân tích đa thức F(x) bất kỳ

a. Hướng phân tích thứ nhất

Áp dụng định lý Bơdu để phân tích đa thức F(x) thành nhân tử. Cụ thể ta làm như sau:

+ Bước 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của F(x) không (a là một trong các ước của hạng tử tự do).

+ Bước 2: Nếu F(a) = 0 thì theo định lý Bơdu ta có:

F(x) = (x – a) P(x)

Để tìm P(x) ta thực hiện phép chia F(x) cho x – a .

+ Bước 3: Tiếp tục phân tích P(x) thành nhân tử nếu còn phân tích được, sau đó viết kết quả cho hợp lý.

Ví dụ 2: Phân tích đa thức: F(x) = x³ – x² – 4 thành nhân tử

Hướng dẫn giải:

Ta thấy 2 là nghiệm của F(x) vì F(2) = 0

Theo hệ quả của định lý Bơdu thì F(x) $\vdots$

x – 2

Tiến hành chia F(x) cho x – 2 ta được F(x) = (x – 2)(x² + x + 2).

b. Hướng phân tích thứ hai

Nếu như hướng 1 không làm được thì ta tiến hành tách các hạng tử đã biết hoặc thêm bớt hoặc đặt ẩn phụ sao cho đa thức xuất hiện các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học. Sau đó khéo léo nhóm hạng tử giống nhau.

– Tách hạng tử biến đổi thành các hằng đẳng thức

Ví dụ 3: Phân tích đa thức:

$A=x^{4}+6 x^{3}+7 x^{2}-6 x+1$

thành nhân tử

Hướng dẫn giải:

$A=x^{4}+6 x^{3}+7 x^{2}-6 x+1=x^{4}+\left(6 x^{3}-2 x^{2}\right)+\left(9 x^{2}-6 x+1\right)$

$=x^{4}+2 x^{2}(3 x-1)+(3 x-1)^{2}=\left(x^{2}+3 x-1\right)^{2}$

– Thêm bớt để phân tích đa thức thành nhân tử:

Ví dụ 4: Phân tích đa thức: x¹¹ + x + 1 thành nhân tử

Hướng dẫn giải:

Để hạ bậc ta cần thêm bớt x² để xuất hiện hằng đẳng thức bậc 3, ta làm như sau:

x¹¹ + x + 1 = x¹¹ – x² + x² + x + 1 = x²(x⁹ – 1) + (x² + x + 1)

= (x² + x + 1)( x⁹ – x⁸ + x⁶ – x⁵ + x³ – x² + 1)

– Đặt ẩn phụ để phân tích đa thức thành nhân tử:

Ví dụ 5: Phân tích đa thức: $x(x+4)(x+6)(x+10)+128$

thành nhân tử

Hướng dẫn giải:

$x(x+4)(x+6)(x+10)+128=[x(x+10)][(x+4)(x+6)]+128$

$=\left(x^{2}+10 x\right)+\left(x^{2}+10 x+24\right)+128$

Đặt $x^{2}+10 x+12=y \quad,$ khi đó đa thức có dạng:

$(y-12)(y+12)+128=y^{2}-144+128$

$=y^{2}-16=(y+4)(y-4)$

$=\left(x^{2}+10 x+8\right)\left(x^{2}+10 x+16\right)$

$=(x+2)(x+8)\left(x^{2}+10 x+8\right)$

Các dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Bài toán 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) $\displaystyle {{x}^{3}}+2x$

b) $\displaystyle 3x-6y$

c) $\displaystyle 5\left( {x+3y} \right)-15x\left( {x+3y} \right)$

d) $\displaystyle 3\left( {x-y} \right)-5x\left( {y-x} \right)$

e) $\displaystyle 2x+2y$

f) $\displaystyle 2x+4y-6z$

g) $\displaystyle -2{{x}^{2}}y-4x{{y}^{2}}-6xy$

h) $\displaystyle 3{{a}^{2}}y-6{{a}^{2}}y+12a$

Bài toán 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) $\displaystyle 4{{x}^{2}}-6x$

b) $\displaystyle {{x}^{3}}y-2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+5xy$

c) $\displaystyle 2{{x}^{2}}\left( {x+1} \right)+4x\left( {x+1} \right)$

d) $\displaystyle \frac{2}{5}x\left( {y-1} \right)-\frac{2}{5}y\left( {1-y} \right)$

e) $\displaystyle 2{{\left( {x-1} \right)}^{3}}-5{{\left( {x-1} \right)}^{2}}-\left( {x-1} \right)$

f) $\displaystyle x{{\left( {y-x} \right)}^{3}}-y{{\left( {x-y} \right)}^{2}}+xy\left( {x-y} \right)$

g) $\displaystyle xy\left( {x+y} \right)-2x-2y$

h) $\displaystyle x{{\left( {x+y} \right)}^{2}}-y{{\left( {x+y} \right)}^{2}}-{{y}^{2}}\left( {x-y} \right)$

Bài toán 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) $\displaystyle 4{{\left( {2-x} \right)}^{2}}+xy-2y$

b) $\displaystyle x{{\left( {x-y} \right)}^{3}}-y{{\left( {y-x} \right)}^{2}}-{{y}^{2}}\left( {x-y} \right)$

c) $\displaystyle {{x}^{2}}y-x{{y}^{2}}-3x+3y$

d) $\displaystyle x{{\left( {x+y} \right)}^{2}}-y{{\left( {x+y} \right)}^{2}}+xy-{{x}^{2}}$

e) $\displaystyle 3{{a}^{2}}x-3{{a}^{2}}y+abx-aby$

f) $\displaystyle 2a{{x}^{3}}+6a{{x}^{2}}+6ax+18a$

g) $\displaystyle 3a{{x}^{2}}+3b{{x}^{2}}++bx+5a+5b$

h) $\displaystyle 2a{{x}^{2}}-b{{x}^{2}}-2ax+bx+4a-2b$

Bài toán 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) $\displaystyle 8{{x}^{3}}-2x$

b) $\displaystyle 5x-25{{x}^{2}}+\frac{{10}}{9}{{x}^{3}}$

c) $\displaystyle -5{{x}^{3}}\left( {x+1} \right)+x+1$

d) $\displaystyle \frac{{{{x}^{3}}}}{{27}}+\frac{{{{x}^{6}}}}{{729}}-{{x}^{9}}$

e) $\displaystyle x{{\left( {y-x} \right)}^{2}}-{{x}^{2}}+2xy-{{y}^{2}}$

f) $\displaystyle x{{\left( {x-y} \right)}^{2}}-y{{\left( {x-y} \right)}^{2}}+x{{y}^{2}}-{{x}^{2}}y$

Bài toán 5: Tính hợp lý

a) $\displaystyle 75.20,9+{{5}^{2}}.20,9$

b) $\displaystyle 86.15+150.1,4$

c) $\displaystyle 93.32+14.16$

d) $\displaystyle 98,8.199-990.9,86$

e) $\displaystyle 85.12,7+5.3.12,7$

f) $\displaystyle 8,4.84,5+840.0,155$

g) $\displaystyle 0,78.1300+50.0,5-39$

h) $\displaystyle 0,12.90-110.0,6+36-25.6$

Bài toán 6: Tính giá trị biểu thức:

$\displaystyle A=a\left( {b+3} \right)-b\left( {3+b} \right)$ tại $\displaystyle a=2003$ và $\displaystyle b=1997$

$\displaystyle B={{x}^{2}}-8x-y\left( {8-x} \right)$ tại $\displaystyle x=108$ và $\displaystyle y=-8$

$\displaystyle C=xy\left( {x+y} \right)-2x-2y$ tại $\displaystyle xy=8$ và $\displaystyle x+y=7$

$\displaystyle D={{x}^{5}}\left( {x+2y} \right)-{{x}^{3}}y\left( {x+2y} \right)+{{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( {x+2y} \right)$ tại $\displaystyle x=10$ và $\displaystyle y=-5$

Bài toán 7: Tính giá trị biểu thức

$\displaystyle M=x\left( {10-4x} \right)-{{x}^{2}}\left( {2x-5} \right)-2x+5$ tại $\displaystyle x=\frac{5}{2}$

$\displaystyle N={{x}^{2}}\left( {y-1} \right)-5x\left( {1-y} \right)$ tại $\displaystyle x=-20$ và $\displaystyle y=1001$

$\displaystyle P={{y}^{2}}\left( {{{x}^{2}}+y-1} \right)-{{x}^{2}}-y+1$ tại $\displaystyle x=9$ và $\displaystyle y=-80$

$\displaystyle Q=x{{\left( {x-y} \right)}^{2}}-y{{\left( {x-y} \right)}^{2}}+x{{y}^{2}}-{{x}^{2}}y$ tại $\displaystyle x-y=7$ và $\displaystyle xy=9$

$\displaystyle R={{x}^{2}}\left( {x+y} \right)-{{y}^{2}}x-{{y}^{3}}$ tại $\displaystyle x=-2017$ và $\displaystyle y=2017$

$\displaystyle S={{y}^{3}}-3{{y}^{2}}-y\left( {3-y} \right)$ tại $\displaystyle y=13$

Bài toán 8: Tìm x, biết:
a) $\displaystyle 8x\left( {x-2017} \right)-2x+4034=0$ c) $\displaystyle 4-x=2{{\left( {x-4} \right)}^{2}}$

b) $\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{{{{x}^{2}}}}{8}=0$ d) $\displaystyle \left( {{{x}^{2}}+1} \right)\left( {x-2} \right)+2x=4$

Bài toán 9: Tìm x, biết:

a) $\displaystyle {{x}^{4}}-16{{x}^{2}}=0$

b) $\displaystyle {{x}^{8}}+36{{x}^{4}}=0$

c) $\displaystyle {{\left( {x-5} \right)}^{3}}-x+5=0$

d) $\displaystyle 5\left( {x-2} \right)-{{x}^{2}}+4=0$

Bài toán 10: Tìm x, biết:

a) $\displaystyle 2-x=2{{\left( {x-2} \right)}^{3}}$

d) $\displaystyle 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3+2x=0$

b) $\displaystyle 8{{x}^{3}}-72x=0$

e) $\displaystyle {{x}^{3}}-4x-14x\left( {x-2} \right)=0$

c) $\displaystyle {{\left( {x-1,5} \right)}^{6}}+2{{\left( {1,5-x} \right)}^{2}}=0$

f) $\displaystyle {{x}^{2}}\left( {x+1} \right)-x\left( {x+1} \right)+x\left( {x-1} \right)=0$

Bài toán 11: Chứng minh:

a) $\displaystyle {{25}^{{n+1}}}-{{25}^{n}}$ chia hết cho 100 với $\displaystyle \forall$ số tự nhiên n

b) $\displaystyle {{n}^{2}}\left( {n-1} \right)-2n\left( {n-1} \right)$ chia hết cho 6 với $\displaystyle \forall$ số nguyên n

c) $\displaystyle {{50}^{{n+2}}}-{{50}^{{n+1}}}$ chia hết cho 245 với $\displaystyle \forall$ số tự nhiên n

d) $\displaystyle {{n}^{3}}-n$ chia hết cho 6 với $\displaystyle \forall$ số nguyên n

Giáo án – Bài soạn phân tích đa thức thành nhân tử

Taking too long?

Reload document

Open in new tab

Download [191.69 KB]

Xem thêm Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Các phương pháp phân tích đa thức

Bài viết cùng series:

Like share và ủng hộ chúng mình nhé:

Xem nhiều tuần qua:

Mục đích của phương pháp tách hạng tử

Giải quyết vấn đề:

Phương pháp tách hạng tử truyền thống

Phương pháp tách hạng tử nâng cao

Cách tách hạng tử trên máy tính fx 580vn PLUS

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử có lời giải.

Cách phân tích đa thức thành nhân tử

1. Phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c

2. Phân tích đa thức F(x) bất kỳ

a. Hướng phân tích thứ nhất

b. Hướng phân tích thứ hai

Các dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Giáo án – Bài soạn phân tích đa thức thành nhân tử

Bài viết khác cùng mục:

1. Phân tích đa thức dạng ax² + bx + c