Bài tập đường trung bình của hình thang có lời giải

Xem nhiều tuần qua:

Bài tập đường trung bình của hình thang có lời giải. Đường trung bình là một nội dung hết sức quan trọng trong chương trình hình học phổ thông. Các em sẽ dùng đến nó trong suốt những năm học tiếp theo này. Tài liệu gồm tóm tắt lý thuyết và hệ thống bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao, phần đáp án sẽ giúp các em đối chiếu bài làm của mình.

Nội dung chính:

I. Lí thuyết.

1. Đường trung bình của tam giác

a) Định nghĩa đường trung bình của tam giác:

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh tam giác đó.

b) Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

c) Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh thứ ba.

2. Đường trung bình của hình thang.

a) Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh bên hình thang.

b) Định lí 2: Đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh bên thứ nhất và song song với cạnh đáy thì nó đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai của hình thang.

c) Định lí 3: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Sử dụng định lý đường trung bình của hình thang để chứng minh

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa và các định lý liên quan đến đường trung bình của hình thang để chứng minh.

Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các đường phân giác ngoài của góc A và D cắt nhau tại E, các đường phân giác ngoài của góc B và C cắt nhau tại F. Chứng minh:

a) EF song song AB và CD.

b) EF có độ dạng bằng nửa chu vi hình thang ABCD.

Giải:

a) Vì AE là phân giác góc ngoài của góc A nên \[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\]

Vì DE là phân giác góc ngoài của góc D nên \[\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\]

Mà \[\begin{array}{l}
\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{D_1}} + \widehat {{D_2}} = {180^0}\\
\Rightarrow 2\widehat {{A_2}} + 2\widehat {{D_2}} = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat {{A_2}} + \widehat {{D_2}} = {90^0}
\end{array}\]

Xét tam giác AED có: \[\begin{array}{l}
\widehat {{A_2}} + \widehat {{D_1}} + \widehat {AED} = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat {AED} = {180^0} – \left( {\widehat {{A_2}} + \widehat {{D_1}}} \right)\\
= {180^0} – {90^0} = {90^0}\\
\Rightarrow DE = AE
\end{array}\]

Gọi \[AE \cap DC = M\],

ADM có DE vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên ΔADM cân tại D

Nên DE là đường trung tuyến của ΔADM

=> E là trung điểm của AM.

Gọi BF ∩ DC = N

Chứng minh tương tự có điểm F là trung điểm BN

Lại có tứ giác ABNM có AB // MN (AB // CD) nên ABNM là hình thang

Mà có E, F lần lượt là trung điểm của AM và BN

Nên EF là đường trung bình của hình thang ABNM

=> EF // AB // MM

Hay EF // AB // CD

b) Vì EF là đường trung bình của hình thang ABNM

\[\begin{array}{l}
\Rightarrow {\rm{EF}} = \frac{{AB + MN}}{2}\\
\Rightarrow {\rm{EF}} = \frac{{AB + MD + CD + CN}}{2}\left( 1 \right)
\end{array}\]

Mà MD = AD (do tam giác AMD cân tại D); CN = BC (do tam giác BCN cân tại C) nên thay vào (1) ta có:

\[ \Rightarrow {\rm{EF}} = \frac{{AB + AD + CD + BC}}{2}\]

Vậy độ dài EF bằng nửa chu vi tứ giác ABCD.

Sử dụng phối hợp đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang để chứng minh.

Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp các định nghĩa định lý về đường trung bình để chứng minh bài toán.

Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC, BC. Chứng minh:

a) M, N ,P, Q cùng nằm trên một đường thẳng

b) \[NP = \frac{1}{2}\left( {DC – AB} \right)\]

Giải:

a) Ta có M là trung điểm của AD, Q là trung điểm BC

=> MQ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> MQ // AB // CD (1)

M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BD

=> MN là đường trung bình của tam giác DAB

=> MN // AB (2)

P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của BC

=> PQ là đường trung bình của tam giác ABC

=> PQ // AB (3)

Từ (1), (2) , (3) => MN // MQ // QP // AB

=> bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng

=> M, N, P, Q thuộc cùng một đường thẳng

b) Đặt AB = a; CD = b

Vì MQ là đường trung bình của hình thang ABCD

\[ \Rightarrow MQ = \frac{{AB + CD}}{2} = \frac{{a + b}}{2}\]

Lại có MN, PQ lần lượt là đường trung bình của tam giác ABD và ABC

\[ \Rightarrow MN = \frac{a}{2};{\rm{ }}PQ = \frac{a}{2}\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}
MQ = MN + NP + PQ\\
= \frac{a}{2} + NP + \frac{a}{2}\\
= \frac{{a + b}}{2}\\
\Rightarrow NP = \frac{{a + b}}{2} – \frac{a}{2} – \frac{a}{2}\\
\Rightarrow NP = \frac{{b – a}}{2} = \frac{1}{2}\left( {CD – AB} \right)
\end{array}\]