Công thức nguyên hàm từng phần – Tính nhanh bằng sơ đồ

 
Phương pháp nguyên hàm từng phần thường được sử dụng để tìm tích phân bất định của các hàm số phức tạp như vừa chứa hàm vô tỉ và hàm lượng giác, hoặc chứa hàm logarit và hàm vô tỉ, hay hàm mũ,…
Công thức nguyên hàm từng phần
Công thức nguyên hàm từng phần

Nguyên hàm từng phần là gì?

Cho hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K ta có công thức nguyên hàm từng phần:
      ∫udv = uv−∫vdu.
 
Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng I=∫f(x).g(x)dx, trong đó f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ.
 

TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN.

 
Phương pháp: Thuật toán:
Bước 1: Ta biến đổi bài toán về dạng: I.
Bước 2: Đặt.
Bước 3: Khi đó : Cần phải lựa chọn 1 và do hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được 0 và nguyên hàm dễ tính hơn. THỨ Tự ưu tiên đặt 4: NHẤT – LOG; NHÌ – ĐA, TAM – LƯỢNG; TÚ – MŨ. Nghĩa là nếu có ln hay log x thì chọn u = ln hay u = log. Nếu không có In; log thì chọn u = đa thức và do còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác,….cuối cùng là mũ. Ta thường gặp các dạng sau: Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của In tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. Dạng mù nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi.
 
Một số bài toán minh họa và các kĩ thuật tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.
 
Bài toán 1: Tìm các họ nguyên hàm sau đây.
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) thỏa mãn . Tìm = f(x)? Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần.
Nhận xét: Qua bài toán trên các em được làm quen thêm một kĩ thuật chọn hệ số cho phương pháp tích phân từng phân. Kĩ thuật này được trình bày sau đây. Kĩ thuật chọn hệ số khi đi tính tích phân từng phần, ở khâu đặt với C là hằng số bất kỳ ( chọn số nào cũng được ). Và theo một “thói quen” thì chúng ta thường chọn C = 0. Nhưng việc chọn C = 0 lại làm cho việc tìm nguyên hàm (tích phân không được “đẹp” cho lắm. Vì ta có quyền chọn C là số thực bất kì nên ta sẽ chọn hệ số C thích hợp mà ở đó biểu thức odu là đơn giản nhất. Cách làm như thế được gọi là “kĩ thuật chọn hệ số”.
Bài toán 3: Tìm họ nguyên hàm. Lưu ý: Trên đây là bài giải chuẩn, tuy nhiên, nếu chỉ cần tìm đáp số cuối cùng ta có thể thực hiện theo phương pháp từng phân theo sơ đồ đường chéo. Phương pháp từng phần bằng sơ đồ đường chéo: Bước 1: Chia thành 2 cột: Cột 1: Cột u luôn lấy đạo hàm đến 0. Cột 2: Cột do luôn lấy nguyên hàm cho đến khi tương ứng với cột 1. Bước 2: Nhân chéo kết quả của 2 cột với nhau. Dấu của phép nhân đầu tiên sẽ có dấu (+). Bước 3: Kết quả bài toán là tổng các phép nhân vừa tìm được.

Cách tính nguyên hàm từng phần

 
Nguồn phần này: vnhoctap.com/
Tức là hàm số nào đứng trước trong câu nói trên ta sẽ đặt u bằng hàm đó.

Bảng nguyên hàm từng phần

 

Bảng nguyên hàm từng phần
Bảng nguyên hàm từng phần

Tính nhanh nguyên hàm từng phần bằng sơ đồ

Phiếu bài tập công thức nguyên hàm từng phần

1. Đề bài

 
2. Đáp án

Download [772.73 KB]

 
 

Like share và ủng hộ chúng mình nhé:

Donate ủng hộ

Nếu thấy bài biết hay và hữu ích hãy donate cho blog nhé

Donate qua ví MOMO:

Donate qua Viettel Pay: